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4963e98abc
...
85bfa011d9
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Vendored
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|
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"headerTemplate": "<div style=\"padding-left: 2cm; padding-right: 2cm; width: 100%; display: flex; justify-content: space-between; font-size:10px;\"><span class=\"title\"></span><span>Oscar Plaisant</span></div>",
|
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"footerTemplate": "<div style=\"width: 100vw;font-size:10px;text-align:center;\"><span class=\"pageNumber\"></span> / <span class=\"totalPages\"></span></div>",
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+25940
File diff suppressed because one or more lines are too long
@@ -0,0 +1,11 @@
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
+3
-3
File diff suppressed because one or more lines are too long
@@ -5,7 +5,7 @@
|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
||||
|
||||
File diff suppressed because one or more lines are too long
@@ -7,6 +7,8 @@ up:
|
||||
- "[[master LOGOS]]"
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---
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||||
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||||
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||||
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||||
```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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@@ -0,0 +1,6 @@
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up:
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tags:
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aliases:
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![[attachments/Pasted image 20260508182131.png]]
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Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 174 KiB |
+265
-32
@@ -24,8 +24,9 @@ header-auto-numbering:
|
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<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
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# Introduction
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La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
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La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle a notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui a été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
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Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant en "lisant" le précédent. Par exemple "11" se lit "deux uns" ce qui donne "21" ; à son tour "21" se lit "un deux, un un" soit "1211" et ainsi de suite :
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- $1 \longrightarrow \text{un } 1$
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@@ -39,27 +40,57 @@ Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant e
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La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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Pour donner une défintion précise et reproductible de la suite (et pour vérifier certains calculs) on pourra utiliser la définition suivante :
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```python
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def chaine_suivante(ch: list[int]) -> list[int]:
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resultat = [] # future chaine
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decompte = 0 # nombre de répétitions
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index = 0 # index du parcours
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valeur = ch[index] # valeur à compter
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while index + 0 < len(ch):
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if valeur == ch[index]:
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decompte += 1 # incrémenter si la valeur est la même
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else:
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# enregister decompte,valeur dans résusltat si la valeur est nouvelle
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resultat.append(decompte)
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||||
resultat.append(valeur)
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valeur = ch[index]
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decompte=1
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index += 1
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||||
resultat.append(decompte)
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||||
resultat.append(valeur)
|
||||
return resultat
|
||||
```
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<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
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# Notations
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- Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera "chaine" un terme de la suite.
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||||
- On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs.
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||||
- On se permettra de confondre "chaine" et "sous-chaine" (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
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||||
- On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le "parsing", c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
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||||
- = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$ même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
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- $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
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- Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
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||||
- On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs. Le théorème du jour 2 explicitera pourquoi $0$ et les nombres supérieurs à 10 n'ont pas d'intérêt particulier.
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||||
- On se permettra de confondre **chaine** et **sous-chaine** (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
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||||
- On appellera **dérivation** le fait d'appliquer la règle de passage d'une chaine à la suivante.
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||||
- $L \longrightarrow L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ par désintégration audioactive
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||||
- On note aussi $L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots$ pour $L \longrightarrow L'$ et $L' \longrightarrow L''$ et $L'' \longrightarrow \cdots$
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||||
- On peut ajouter une condition : $L \xrightarrow{n\neq 2} L'$ signifie que $L$ dérive en $L'$ si $n \neq 2$.
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||||
- $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
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||||
- évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$
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||||
- évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \longrightarrow L_{n+1}$
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||||
- i on peut noter $L \xrightarrow{n} L_{n}$
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||||
- On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des sous-chaines
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||||
- On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le **parsing**, c'est-à-dire la bonne manière de lire la chaîne
|
||||
- = $\dots 233 \dots \longrightarrow \dots ,12,23, \dots$ mais $122111 \centernot{\longrightarrow} \dots ,12,23,1\dots$ même si $122111 \longrightarrow \dots 12231 \dots$
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||||
- On utilise $[$ et $]$ pour dénoter le *véritable début* et la *véritable fin* des sous-chaines
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||||
- = $[11222$ correspond à $11 222\cdots$ autrement dit, la chaine continue potentiellement à droite, mais pas à gauche
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||||
- On utilise les puissances pour la répétition
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||||
- = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
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- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$) (cela est important pour les premiers théorèmes)
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||||
- $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
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||||
- i si on écrit $[a^{\alpha}X^{\beta}$, on suppose que $a \neq X$ et que la suite de la chaine (s'il y en a une) n'est pas directement un $X$.
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||||
- = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
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||||
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
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||||
- = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une de : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
|
||||
- = $2^{X}$ correspond à l'une de : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
|
||||
- = $2^{2}X^{2}$ correspond à l'une des chaines : $2^{2}1^{2},\quad 2^{2}3^{2},\quad 2^{2}4^{2},\quad 2^{2}5^{2}, \dots$ (mais pas à $2^{2}2^{2} = 2^{4}$)
|
||||
- = $2^{X}$ correspond à l'une des chaines : $2,\quad 2^{2},\quad 2^{3},\quad 2^{4}, \dots$ (mais ne peut pas être vide)
|
||||
- $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
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||||
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
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||||
- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
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||||
@@ -76,13 +107,16 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
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||||
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# Propriétés
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> [!proposition]+ conséquence du regroupement
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||||
> [!proposition] conséquence du regroupement
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> Pour une étape :
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> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
|
||||
> Il est évident que :
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||||
> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
|
||||
> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
|
||||
^regroupement
|
||||
|
||||
La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés ne s'influencent pas mutuellement dans la dérivation) sera très utile lorsque l'on considèrera les sous-chaines.
|
||||
|
||||
## Atomes
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||||
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||||
> [!definition] Découpage
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@@ -104,7 +138,7 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
|
||||
|
||||
## Théorèmes préliminaires
|
||||
|
||||
> [!proposition]+ Théorème du jour 1
|
||||
> [!proposition] Théorème du jour 1
|
||||
> Les morceaux de type :
|
||||
> 1. $,ax,bx,$
|
||||
> 2. $x^{\geq 4}$
|
||||
@@ -121,15 +155,15 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
|
||||
> > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$
|
||||
> > L'autre parsing possible est $x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$
|
||||
> > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$)
|
||||
> > A nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
|
||||
> > 2. $x^{3}y^{3}$
|
||||
> > À nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
|
||||
> > 1. $x^{3}y^{3}$
|
||||
> > Encore une fois, considérons les parsing possibles :
|
||||
> > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$
|
||||
> > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$
|
||||
> > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation.
|
||||
^thm-jour-1
|
||||
|
||||
> [!proposition]+ Théorème du jour 2
|
||||
> [!proposition] Théorème du jour 2
|
||||
> - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).
|
||||
> - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.
|
||||
>
|
||||
@@ -140,7 +174,7 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
|
||||
> > On doit donc nécessairement parser $3X 3$ comme $,3x,3y,$. Pour obtenir $,3x,3y,$, on doit avoir obtenu $x^{3}y^{3}$ au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]]). Cela montre bien que $3X 3$ est impossible dès le jour 2.
|
||||
^thm-jour-2
|
||||
|
||||
> [!proposition]+ Théorème du début
|
||||
> [!proposition] Théorème du début
|
||||
> Soit $R$ un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus.
|
||||
> Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :
|
||||
> - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$
|
||||
@@ -148,7 +182,7 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
|
||||
> - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
|
||||
> - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
|
||||
>
|
||||
> > [!démonstration]+ Démonstration
|
||||
> > [!démonstration]- Démonstration
|
||||
> > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
|
||||
> > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
|
||||
> > - Si $R$ commence par $1$
|
||||
@@ -268,7 +302,7 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
|
||||
> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408&width=800|schéma original de Conway p.186]]
|
||||
^theoreme-debut
|
||||
|
||||
> [!proposition]+ théorème de découpage
|
||||
> [!proposition] théorème de découpage
|
||||
> Une chaîne $LR$ âgée de 2 jours ou plus se découpe en $L \cdot R$ seulement dans ces cas :
|
||||
>
|
||||
> | L | R |
|
||||
@@ -283,7 +317,7 @@ La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^
|
||||
^theoreme-decoupage
|
||||
^theoreme-de-decoupage
|
||||
|
||||
> [!proposition]+ Théorème de la fin
|
||||
> [!proposition] Théorème de la fin
|
||||
> La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
|
||||
> ![[attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
|
||||
>
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@@ -348,7 +382,7 @@ On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome
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On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]).
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Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments).
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> [!info]- Liste des éléments
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> [!info] Liste des éléments
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> | $n$ | nom | éléments dans la dérivée | chaîne | dérivée |
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> | ------- | --- | ---------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- |
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> | 1 | H | H (stable) | 22 | 22 |
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@@ -450,12 +484,12 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
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## Théorèmes sur les éléments
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> [!proposition]+ Théorème chimique
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> [!proposition] Théorème chimique
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> 1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments
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> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}$
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> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments.
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> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments (et on peut borner le nombre de dérivations nécessaires pour atteindre cet état).
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> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}$
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> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent par contenir les 92 éléments simultanément.
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> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent (après un nombre borné de dérivations) par contenir les 92 éléments simultanément.
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
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@@ -487,19 +521,218 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
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> > 1. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$.
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> > Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). On sait que l'on peut faire ce découpage : $(X\neq 2)\cdot 2^{2}] \longrightarrow (X \neq 2)\cdot 2^{2}$.
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> > Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium (la chaîne $\color{crimson}12$ notée $\ce{Ca}$ et indiquée en <span style="color: crimson">rouge</span>) dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium.
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> > Il est manifeste que l'apparition du Calcium se fait en un nombre borné d'étapes.
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> > La propriété 2. permet de conclure.
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> [!definition] Chaine commune
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> Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments.
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> [!proposition] Théorème arithmétique
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> 4. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
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> 5. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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||||
> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$ le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
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> > Par exemple, $\operatorname{lg}[3223] = 4$ et $\operatorname{ne}[3223] = \operatorname{ne}[\ce{U \cdot H \cdot U}] = 3$.
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||||
> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$, on peut assimiler la longueur au nombre d'éléments dans le calcul de $\lambda$. Formellement, si $L_0$ est une chaine commune :
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> > $\forall n,\quad \operatorname{ne}[L_{n}] \leq \operatorname{lg}[L_{n}] \leq 48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n}]$
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> > Donc :
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> > $\displaystyle\forall n,\quad \frac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]} \leq \frac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} \leq \frac{48 \cdot \operatorname{ne}[L_{n+1}]}{48\cdot \operatorname{ne}[L_{n}]}$
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||||
> > Ce qui montre bien que $\forall n,\quad \dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]} = \dfrac{\operatorname{ne}[L_{n+1}]}{\operatorname{ne}[L_{n}]}$.
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||||
> > Or, comme $\lambda$ est l'éventuelle limite de $\dfrac{\operatorname{lg}[L_{n+1}]}{\operatorname{lg}[L_{n}]}$, on pourra aussi bien calculer $\lambda$ en considérant la longueur que le nombre d'éléments.
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> >
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> > 1. Soit $L_0$ une chaine commune, notons $\#_{E_{k}}[L_0]$ le nombre d'occurences de l'élément $E_{k}$ dans $L_0$.
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> > Par exemple $\operatorname{ne}[L_{n}] =\sum\limits_{k=1}^{92} \#_{E_{k}}[L_n]$.
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> > Représentons alors $L_{n}$ comme un vecteur de $\mathbb{N}^{92}$ : la $k^{\text{ème}}$ coordonnée sera le nombre d'occurence de $E_{k}$ dans $L_{n}$. On notera $v^{(n)} =\operatorname{vec}[L_{n}] = (\#_{E_1}[L_{n}],\quad \#_{E_2}[L_{n}],\quad \#_{E_{3}}[L_{n}], \dots,\quad \#_{E_{92}}[L_{n}])$.
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||||
> > Autrement dit :
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> > $\forall k \in [\![ 1; 92]\!],\quad v^{(n)}{}_{k} = \operatorname{vec}[L_{n}]_{k} = \#_{E_{k}}[L_{n}]$
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> > $v^{(n)}$ est donc le vecteur comptant les occurences des éléments dans $L_{n}$.
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> > Par la propriété 1. du théorème chimique, on sait que cette représentation vectorielle est « suffisante » puisque l'on peut passer de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$ en faisant un comptage adéquat de la nouvelle quantité de chaque élément (et cela décrit bien l'entièreté du contenu de $L_{n+1}$) :
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> > $\forall k \in [\![1; 92]\!],\quad v^{(n+1)}{}_{k} = \sum\limits_{i=1}^{92}v^{(n)}{}_{k}\cdot\#_{E_{k}}[E_{i}{}']$
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||||
> > On remarque que cette formule ressemble à celle qui définit la multiplication d'une matrice par un vecteur :
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> > $(v\cdot M)_{k} = \sum\limits_{i} v_{k} \cdot M_{i,k}$
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||||
> > En particulier, pour le passage de $v^{(n)}$ à $v^{(n+1)}$, la matrice sera définie par :
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> > $\forall i,j \in [\![1, 92]\!],\quad M_{i, j} = \#_{E_j}[E_{i}{}']$ avec $M \in \mathcal{M}_{92}(\mathbb{N})$
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||||
> > Ainsi, on obtient $\boxed{v^{(n+1)} = v^{(n)}\cdot M = v^{(0)}\cdot M^{n+1}}$
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> > La propriété définissant $\lambda$ peut alors se formuler comme $v^{(0)}\cdot M^{n+1} = \lambda \cdot v^{(0)}\cdot M^{n} \iff v^{(0)} \cdot M = \lambda \cdot v^{(0)}$ (en négligeant les formalismes de passage à la limite). Cela indique que $\lambda$ doit être une valeur propre de $M$.
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||||
> > Pour être plus formel, on suppose à l'inverse que $\Lambda$ est une valeur propre de $M$ (celle de plus grand module) correspondant au vecteur propre $v^{p}$. On remarque alors que $v^{p}M^{n}$ est proportionnel à $\Lambda^{n}$ (par définition des valeurs propres), autrement dit $v^{p}M^{n}= \Lambda^{n}\cdot v^{p}$.
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||||
> > Le théorème de Perron-Froenbius nous permet d'affirmer que, puisque $M$ est carrée et positive, la valeur propre de plus grand module,$\Lambda$, est positive et unique. De là, on tire le fait que $v^{(0)}M^{n} \leq \Lambda^{n}\cdot v^{p}$.
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||||
> > Le théorème chimique permet d'affirmer que, asymptotiquement, la croissance de $(\operatorname{ne}[L_{n}])_{n \in \mathbb{N}}$ sera au moins égale à chacune de celles engendrée par un vecteur contenant un unique élément.
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||||
> > Puisque chaque élément engendre tous les autres, et puisque les 92 vecteurs représentant un élément seul forment une base de $\mathbb{N}^{92}$, et par le théorème chimique, on comprend que la croissance limite de raison $\lambda$ sera asymptotiquement atteinte par $(v^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$.
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||||
> > Il est évident que $\lambda > 1$ par définition de la suite.
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> > Cela montre la propriété recherchée.
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> [!proposition]+ Théorème arithmétique
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> 1. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
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||||
> 2. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
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||||
> > [!démonstration]+ Démonstration
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||||
> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$ le *nombre d'éléments* contenus dans une chaine $L$.
|
||||
> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$
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> [!proposition] Valeur de $\lambda$ et croissance de la suite
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||||
> L'annexe 1 fournit le code permettant de calculer une approximation de $\lambda$.
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> L'approximation obtenue est $\lambda \approx 1.3035772690343037$
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||||
> Il est évident que $\lambda$ est un nombre algébrique de degré $92$. Il se trouve qu'il est même de degré 71 [voir @OpenProblemsCommunication1987 p.188].
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> ---
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||||
> Puisque la longueur $lg[L_{n}]$ et la valeur de $L_{n}$ en tant que nombre sont reliés par un encadrement logarithmique : $\operatorname{lg}[L_{n}] \leq \log_{10}(L_{n}) < \operatorname{lg}[L_{n}] + 1$, on peut en déduire assez directement que $L_{n} = O(10^{(\lambda^{n})})$
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> [!proposition] Théorème cosmologique
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> Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après un nombre borné de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > La démonstration serait trop complexe pour le cadre de ce devoir. Conway lui-même ne l'a pas publiée dans son article *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay*.
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> >
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> > 1.
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> > La preuve originale de Conway et ses collègues contenait un grand nombre de cas à prouver. La preuve originale et une seconde preuve ont été perdues par Conway et ses collèges[^cos-thm-lost].
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> > Des preuves ont été produites par la suite, par exemple celle-ci se basant sur l'étude d'automates en lien avec la suite : [@lairezConwaysCosmologicalTheorem2025].
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> > Une approche peut-être plus similaire à celle de Conway et ses collègues serait peut être de tester algorithmiquement les cas pertinents[^preuve-algo].
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> >
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[^cos-thm-lost]: « Proof of the Cosmological Theorem would fill the rest of this book! Richard Parker and I found a proof over a period of about a month of very intensive work (or, rather, play!). We first produced a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases, and then handled these on dozens of sheets of paper (now lost). Mike Guy found a simpler proof that used tracking and backtracking in roughly equal proportions. Guy’s proof still filled lots of pages (almost all lost) but had the advantage that it found the longest-lived of the exotic elements, namely, the isotopes of Merhuselum (2233322211n ; see Figure 2). Can you find a proof in only a few pages? Please! » [@OpenProblemsCommunication1987 p.]
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[^preuve-algo]: C'est ce que font Ekhad & Zeilberger : « [We compute] iteratively all non-splittable string of length $i$ ($i = 1, 2, \dots$) that might concievably be substrings ('chunks') of an atom in the splitting of a 9-day-old-string (by backtracking, examining its possible ancestors up to (at most) 8 days back and rejecting those that lead to grammatically incorrect ancestors [...]). Every time a string of length $i$ is accepted, its longevity (number of days it takes to decay to stable or transuranic elements) is computed, and checked whether it is finite. The maximal longevity turned out to be 20. The program halts if and when $i$ is reached for which the set of such concievable string of length $i$ is empty. » [@ZeilbergerDoronCosmologicalTheorem]
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<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
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# Annexes
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## Annexe 0 - Au sujet du présent document
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Ce document est inspiré de l'article « *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay* » [@coverOpenProblemsCommunication1987] de John H. Conway, dont il tire son ordre démonstratif ainsi que certaines notations. Cependant, je ne l'ai pas produit en « fait confiance » à l'article original : j'ai reproduit chacun des calculs explicités, modifié certaines preuves et explicité des points que Conway avait laissé au lecteur.
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## Annexe 1 - Code source utilisé pour le calcul
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```python
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import numpy as np
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# Liste de dictionnaires représentant les éléments
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ELEMENTS = [{"num": 1, "name": "H", "deriv": ["H"]}, #{{{
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{"num": 2, "name": "He", "deriv": ["Hf","Pa","H","Ca","Li"]},
|
||||
{"num": 3, "name": "Li", "deriv": ["He"]},
|
||||
{"num": 4, "name": "Be", "deriv": ["Ge","Ca","Li"]},
|
||||
{"num": 5, "name": "B", "deriv": ["Be"]},
|
||||
{"num": 6, "name": "C", "deriv": ["B"]},
|
||||
{"num": 7, "name": "N", "deriv": ["C"]},
|
||||
{"num": 8, "name": "O", "deriv": ["N"]},
|
||||
{"num": 9, "name": "F", "deriv": ["O"]},
|
||||
{"num": 10, "name": "Ne", "deriv": ["F"]},
|
||||
{"num": 11, "name": "Na", "deriv": ["Ne"]},
|
||||
{"num": 12, "name": "Mg", "deriv": ["Pm", "Na"]},
|
||||
{"num": 13, "name": "Al", "deriv": ["Mg"]},
|
||||
{"num": 14, "name": "Si", "deriv": ["Al"]},
|
||||
{"num": 15, "name": "P", "deriv": ["Ho", "Si"]},
|
||||
{"num": 16, "name": "S", "deriv": ["P"]},
|
||||
{"num": 17, "name": "Cl", "deriv": ["S"]},
|
||||
{"num": 18, "name": "Ar", "deriv": ["Cl"]},
|
||||
{"num": 19, "name": "K", "deriv": ["Ar"]},
|
||||
{"num": 20, "name": "Ca", "deriv": ["K"]},
|
||||
{"num": 21, "name": "Sc", "deriv": ["Ho", "Pa", "H", "Ca", "Co"]},
|
||||
{"num": 22, "name": "Ti", "deriv": ["Sc"]},
|
||||
{"num": 23, "name": "V", "deriv": ["Ti"]},
|
||||
{"num": 24, "name": "Cr", "deriv": ["V"]},
|
||||
{"num": 25, "name": "Mn", "deriv": ["Cr", "Si"]},
|
||||
{"num": 26, "name": "Fe", "deriv": ["Mn"]},
|
||||
{"num": 27, "name": "Co", "deriv": ["Fe"]},
|
||||
{"num": 28, "name": "Ni", "deriv": ["Zn", "Co"]},
|
||||
{"num": 29, "name": "Cu", "deriv": ["Ni"]},
|
||||
{"num": 30, "name": "Zn", "deriv": ["Cu"]},
|
||||
{"num": 31, "name": "Ga", "deriv": ["Eu", "Ca","Ac","H","Ca","Zn"]},
|
||||
{"num": 32, "name": "Ge", "deriv": ["Ho", "Ga"]},
|
||||
{"num": 33, "name": "As", "deriv": ["Ge", "Na"]},
|
||||
{"num": 34, "name": "Se", "deriv": ["As"]},
|
||||
{"num": 35, "name": "Br", "deriv": ["Se"]},
|
||||
{"num": 36, "name": "Kr", "deriv": ["Br"]},
|
||||
{"num": 37, "name": "Rb", "deriv": ["Kr"]},
|
||||
{"num": 38, "name": "Sr", "deriv": ["Rb"]},
|
||||
{"num": 39, "name": "Y", "deriv": ["Sr", "U"]},
|
||||
{"num": 40, "name": "Zr", "deriv": ["Y","H","Ca","Tc"]},
|
||||
{"num": 41, "name": "Nb", "deriv": ["Er", "Zr"]},
|
||||
{"num": 42, "name": "Mo", "deriv": ["Nb"]},
|
||||
{"num": 43, "name": "Tc", "deriv": ["Mo"]},
|
||||
{"num": 44, "name": "Ru", "deriv": ["Eu", "Ca","Tc"]},
|
||||
{"num": 45, "name": "Rh", "deriv": ["Ho", "Ru"]},
|
||||
{"num": 46, "name": "Pd", "deriv": ["Rh"]},
|
||||
{"num": 47, "name": "Ag", "deriv": ["Pd"]},
|
||||
{"num": 48, "name": "Cd", "deriv": ["Ag"]},
|
||||
{"num": 49, "name": "In", "deriv": ["Cd"]},
|
||||
{"num": 50, "name": "Sn", "deriv": ["In"]},
|
||||
{"num": 51, "name": "Sb", "deriv": ["Pm", "Sn"]},
|
||||
{"num": 52, "name": "Te", "deriv": ["Eu", "Ca","Sb"]},
|
||||
{"num": 53, "name": "I", "deriv": ["Ho", "Te"]},
|
||||
{"num": 54, "name": "Xe", "deriv": ["I"]},
|
||||
{"num": 55, "name": "Cs", "deriv": ["Xe"]},
|
||||
{"num": 56, "name": "Ba", "deriv": ["Cs"]},
|
||||
{"num": 57, "name": "La", "deriv": ["Ba"]},
|
||||
{"num": 58, "name": "Ce", "deriv": ["La", "H","Ca","Co"]},
|
||||
{"num": 59, "name": "Pr", "deriv": ["Ce"]},
|
||||
{"num": 60, "name": "Nd", "deriv": ["Pr"]},
|
||||
{"num": 61, "name": "Pm", "deriv": ["Nd"]},
|
||||
{"num": 62, "name": "Sm", "deriv": ["Pm", "Ca","Zn"]},
|
||||
{"num": 63, "name": "Eu", "deriv": ["Sm"]},
|
||||
{"num": 64, "name": "Gd", "deriv": ["Eu", "Ca","Co"]},
|
||||
{"num": 65, "name": "Tb", "deriv": ["Ho", "Gd"]},
|
||||
{"num": 66, "name": "Dy", "deriv": ["Tb"]},
|
||||
{"num": 67, "name": "Ho", "deriv": ["Dy"]},
|
||||
{"num": 68, "name": "Er", "deriv": ["Ho", "Pm"]},
|
||||
{"num": 69, "name": "Tm", "deriv": ["Er", "Ca","Co"]},
|
||||
{"num": 70, "name": "Yb", "deriv": ["Tm"]},
|
||||
{"num": 71, "name": "Lu", "deriv": ["Yb"]},
|
||||
{"num": 72, "name": "Hf", "deriv": ["Lu"]},
|
||||
{"num": 73, "name": "Ta", "deriv": ["Hf", "Pa","H","Ca","W"]},
|
||||
{"num": 74, "name": "W", "deriv": ["Ta"]},
|
||||
{"num": 75, "name": "Re", "deriv": ["Ge", "Ca","W"]},
|
||||
{"num": 76, "name": "Os", "deriv": ["Re"]},
|
||||
{"num": 77, "name": "Ir", "deriv": ["Os"]},
|
||||
{"num": 78, "name": "Pt", "deriv": ["Ir"]},
|
||||
{"num": 79, "name": "Au", "deriv": ["Pt"]},
|
||||
{"num": 80, "name": "Hg", "deriv": ["Au"]},
|
||||
{"num": 81, "name": "Tl", "deriv": ["Hg"]},
|
||||
{"num": 82, "name": "Pb", "deriv": ["Tl"]},
|
||||
{"num": 83, "name": "Bi", "deriv": ["Pm", "Pb"]},
|
||||
{"num": 84, "name": "Po", "deriv": ["Bi"]},
|
||||
{"num": 85, "name": "At", "deriv": ["Po"]},
|
||||
{"num": 86, "name": "Rn", "deriv": ["Ho", "At"]},
|
||||
{"num": 87, "name": "Fr", "deriv": ["Rn"]},
|
||||
{"num": 88, "name": "Ra", "deriv": ["Fr"]},
|
||||
{"num": 89, "name": "Ac", "deriv": ["Ra"]},
|
||||
{"num": 90, "name": "Th", "deriv": ["Ac"]},
|
||||
{"num": 91, "name": "Pa", "deriv": ["Th"]},
|
||||
{"num": 92, "name": "U", "deriv": ["Pa"]}]
|
||||
#}}}
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# dictionnaire numéro --> élément
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# permet de retrouver un élément par son numéro atomique
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NUM_OF = {elt["name"]: elt["num"] for elt in ELEMENTS}
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#####################################################
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# CRÉATION DE LA MATRICE DES DÉRIVATIONS D'ÉLÉMENTS #
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#####################################################
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# initialisation
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matrix = [[0 for _ in range(len(ELEMENTS))] for _ in range(len(ELEMENTS))]
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# remplissage
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for elt in ELEMENTS:
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num = elt["num"]
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for dv_elt in elt["deriv"]:
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||||
matrix[num-1][NUM_OF[dv_elt]-1] += 1
|
||||
# conversion en tableau numpy
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matrix = np.array(matrix)
|
||||
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# AFFICHER LA MATRICE
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print("Matrice 𝑀 :")
|
||||
print("┏", "━"*92, "┓\n┃",
|
||||
"┃\n┃".join([''.join([" 12│12─12┼12"[val + 3*(9==col%10) + 6*(9==ln%10)] for col, val in enumerate(line)]) for ln, line in enumerate(matrix)]),
|
||||
"┃\n┗", "━"*92, "┛",
|
||||
sep="")
|
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# CALCUL DE λ
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eigvals = np.linalg.eigvals(matrix)
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λ = eigvals[np.argmax(np.abs(eigvals))]
|
||||
print(f"λ = {np.real(λ)} + {np.imag(λ)}𝑖")
|
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```
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<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
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# Bibliographie et Notes
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Cover, T. M., & Gopinath, B. (1987). _Open problems in communication and computation_. Springer-Verlag.
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Ekhad, S. B., & Zeilberger, D. (n.d.). _Proof of Conway’s lost cosmological theorem_. Retrieved [https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf)
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Lairez, P., & Storozhenko, A. (2025). Conway’s cosmological theorem and automata theory. _The American Mathematical Monthly_, _132_(9), 867–882. [https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225](https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225)
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+3
-4
@@ -1,12 +1,11 @@
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id: norme p
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up: "[[distances particulières]]"
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aliases:
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- norme de Hölder
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- normes p
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tags: []
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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up:: [[distances particulières]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] norme $p$ - définition sur $\mathbb{R}^{n}$
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> On définit sur $\mathbb{R}^{n}$ la norme $\|\cdot \|_{p}$ :
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@@ -511,6 +511,27 @@
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file = {/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/767E3XLT/what-is-functional-programming.html}
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}
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@article{lairezConwaysCosmologicalTheorem2025,
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title = {Conway's Cosmological Theorem and Automata Theory},
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author = {Lairez, Pierre and Storozhenko, Aleksandr},
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date = {2025-10-21},
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journaltitle = {The American Mathematical Monthly},
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shortjournal = {The American Mathematical Monthly},
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volume = {132},
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number = {9},
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eprint = {2409.20341},
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eprinttype = {arXiv},
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eprintclass = {cs},
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pages = {867--882},
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issn = {0002-9890, 1930-0972},
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doi = {10.1080/00029890.2025.2549225},
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url = {http://arxiv.org/abs/2409.20341},
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urldate = {2026-05-02},
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abstract = {John Conway proved that every audioactive sequence (a.k.a. look-and-say) decays into a compound of 94\textasciitilde elements, a statement he termed the cosmological theorem. The underlying audioactive process can be modeled by a finite-state machine, mapping one sequence of integers to another. Leveraging automata theory, we propose a new proof of Conway's theorem based on a few simple machines, using a computer to compose and minimize them.},
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keywords = {Computer Science - Formal Languages and Automata Theory},
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file = {/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/8MAWWH76/Lairez and Storozhenko - 2025 - Conway's cosmological theorem and automata theory.pdf;/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/JF782S4T/2409.html}
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}
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@article{linEffectsWhiteNoise2022,
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title = {The {{Effects}} of {{White Noise}} on {{Attentional Performance}} and {{On-Task Behaviors}} in {{Preschoolers}} with {{ADHD}}},
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author = {Lin, Hung-Yu},
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@@ -625,11 +646,13 @@
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file = {/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/42P5K7TK/Okasaki - 1999 - Purely Functional Data Structures.pdf}
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}
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@online{OpenProblemsCommunication,
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title = {Open Problems in Communication and Computation - {{Anna}}’s {{Archive}}},
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url = {https://annas-archive.gd/md5/47f7db963973665771542f4578a8302f},
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urldate = {2026-03-27},
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||||
file = {/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/822E4RYV/47f7db963973665771542f4578a8302f.html}
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@book{OpenProblemsCommunication1987,
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title = {Open Problems in Communication and Computation},
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author = {Cover, Thomas M. and Gopinath, B.},
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date = {1987-10},
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publisher = {Springer-Verlag},
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location = {Berlin, Heidelberg},
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isbn = {978-0-387-96621-2}
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}
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@inreference{ParadigmeProgrammation2023,
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@@ -833,3 +856,10 @@
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keywords = {communication,modèle,paradigme,schéma,théorie},
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file = {/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/LFD49R3K/Willett - 1996 - Paradigme, théorie, modèle, schéma qu’est-ce donc .pdf}
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}
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@article{ZeilbergerDoronCosmologicalTheorem,
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title = {Proof of {{Conway}}'s Lost Cosmological Theorem},
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author = {Ekhad, Shalosh B. and Zeilberger, Doron},
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||||
url = {https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf},
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file = {/Users/oscarplaisant/Zotero/storage/NDV3AFE4/horton.pdf}
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}
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Reference in New Issue
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