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MacBookPro.lan 2026-5-3:4:10:7

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oskar
2026-05-03 04:10:08 +02:00
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],
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désintégration audioactive.md
+31 -21
View File
@@ -63,7 +63,11 @@ def chaine_suivante(ch: list[int]) -> list[int]:
return resultat
```
<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
# Notations
- Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
- On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs. Le théorème du jour 2 explicitera pourquoi $0$ et les nombres supérieurs à 10 n'ont pas d'intérêt particulier.
- On se permettra de confondre **chaine** et **sous-chaine** (sous-ensemble de chiffres consécutifs d'une chaine) lorsque l'on traitera de propriétés locales.
@@ -103,7 +107,7 @@ def chaine_suivante(ch: list[int]) -> list[int]:
# Propriétés
> [!proposition]+ conséquence du regroupement
> [!proposition] conséquence du regroupement
> Pour une étape :
> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
> Il est évident que :
@@ -134,14 +138,14 @@ La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés
## Théorèmes préliminaires
> [!proposition]+ Théorème du jour 1
> [!proposition] Théorème du jour 1
> Les morceaux de type :
> 1. $,ax,bx,$
> 2. $x^{\geq 4}$
> 3. $x^{3}y^{3}$
>
> n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > 1. $,ax,bx,$
> > - ! ce premier morceau à un parsing donné
> > La première possibilité doit venir de $x^{a}x^{b}$ qui aurait du être écrit $x^{a+b}$ dans la chaîne du jour précédent.
@@ -159,18 +163,18 @@ La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés
> > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation.
^thm-jour-1
> [!proposition]+ Théorème du jour 2
> [!proposition] Théorème du jour 2
> - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).
> - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > - Un chiffre $\geq 4$ devrait venir d'un $x^{\geq 4}$, on on sait par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]] qu'un tel $x^{\geq 4}$ ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre $\geq 4$ ne peut pas apparaître après le jour 2
> > - i un chiffre $k>1$ quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient $,x^{k},$ puisque $,x^{k}, \to ,kx,$
> > - Un morceau $3X 3$ ne peut pas être parsé comme $3,x 3, y$ puisque l'on aurait alors $,\alpha 3, x 3, y$ mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner $,\alpha 3,x 3,$)
> > On doit donc nécessairement parser $3X 3$ comme $,3x,3y,$. Pour obtenir $,3x,3y,$, on doit avoir obtenu $x^{3}y^{3}$ au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]]). Cela montre bien que $3X 3$ est impossible dès le jour 2.
^thm-jour-2
> [!proposition]+ Théorème du début
> [!proposition] Théorème du début
> Soit $R$ un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus.
> Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :
> - $\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots$
@@ -178,7 +182,7 @@ La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés
> - $\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
> - $\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots$
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
> > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
> > - Si $R$ commence par $1$
@@ -263,7 +267,7 @@ La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés
> > - $[n^{1}$
> >
> > De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés :
> > ![[ demo_théorème_du_début.excalidraw|560]]
> > ![[demo_théorème_du_début.excalidraw|560]]
> >
> > Par ailleurs, si $R$ commence par $[22$ :
> > - si $R = [22]$ la preuve est triviale
@@ -298,7 +302,7 @@ La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés
> > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408&width=800|schéma original de Conway p.186]]
^theoreme-debut
> [!proposition]+ théorème de découpage
> [!proposition] théorème de découpage
> Une chaîne $LR$ âgée de 2 jours ou plus se découpe en $L \cdot R$ seulement dans ces cas :
>
> | L | R |
@@ -308,16 +312,16 @@ La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés
> | $\neq 2]$ | $[2^{2} 1^{1}X^{1}$ ou $[2^{2}1^{3}$ ou $[2^{2}3^{1}X\neq 3$ ou $[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}$ |
> avec $n \geq 4$ et $m \leq 3$
> ou bien quand l'un des deux est vide ($L = [\;\;]$ ou $R = [\;\;]$, découpages triviaux)
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > Cela suit directement du [[désintégration audioactive#^theoreme-debut|téorème du début]] appliqué à $R$, et du fait que le dernier chiffre de $L$ est constant
^theoreme-decoupage
^theoreme-de-decoupage
> [!proposition]+ Théorème de la fin
> [!proposition] Théorème de la fin
> La fin d'une chaîne finit toujours par atteindre l'un de ces cycles :
> ![[attachments/désintégration audioactive théorème de la fin cycles.excalidraw|950]]
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > - Une chaîne se terminant par $1$ apparaîtra nécessairement dans cette suite de dérivations (en effet, tous les cas de chaîne finissant par $1$ y sont présents) :
> > $1^{\geq 3}] \longrightarrow \underbrace{(\neq 2)^{X}1^{1}]}_{\mathclap{\text{plus général que }(\geq 3)^{X}1^{1}]}} \longrightarrow (\neq 2)^{X}1^{2}] \longrightarrow (\neq 2)^{X}2^{1}1^{1}] \longrightarrow \underbrace{2^{X\neq 2}1^{2}]}_{\mathclap{\text{fin de }(\neq 2)^{X}1^{1}2^{1}1^{2}]}} \longrightarrow 2^{2}1^{1}] \longrightarrow 2^{2}1^{2}] \longrightarrow 2^{3}1^{1}]$
> > Ce qui montre que toute chaîne se terminant par $1$ finit par atteindre une chaîne se terminant par $2^{3}1^{1}]$.
@@ -378,7 +382,7 @@ On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome
On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]).
Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fait bien 92 éléments).
> [!info]- Liste des éléments
> [!info] Liste des éléments
> | $n$ | nom | éléments dans la dérivée | chaîne | dérivée |
> | ------- | --- | ---------------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------- |
> | 1 | H | H (stable) | 22 | 22 |
@@ -480,14 +484,14 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
## Théorèmes sur les éléments
> [!proposition]+ Théorème chimique
> [!proposition] Théorème chimique
> 1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}$
> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments (et on peut borner le nombre de dérivations nécessaires pour atteindre cet état).
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}$
> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent (après un nombre borné de dérivations) par contenir les 92 éléments simultanément.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
> > 2. Cela est également montré par la table des élément.
> > > [!info] Principe de la démonstration :
@@ -523,11 +527,11 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
> [!definition] Chaine commune
> Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments.
> [!proposition]+ Théorème arithmétique
> [!proposition] Théorème arithmétique
> 4. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
> 5. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$ le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
> > Par exemple, $\operatorname{lg}[3223] = 4$ et $\operatorname{ne}[3223] = \operatorname{ne}[\ce{U \cdot H \cdot U}] = 3$.
> > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$, on peut assimiler la longueur au nombre d'éléments dans le calcul de $\lambda$. Formellement, si $L_0$ est une chaine commune :
@@ -558,16 +562,16 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
> > Il est évident que $\lambda > 1$ par définition de la suite.
> > Cela montre la propriété recherchée.
> [!proposition]+ Valeur de $\lambda$ et croissance de la suite
> [!proposition] Valeur de $\lambda$ et croissance de la suite
> L'annexe 1 fournit le code permettant de calculer une approximation de $\lambda$.
> L'approximation obtenue est $\lambda \approx 1.3035772690343037$
> Il est évident que $\lambda$ est un nombre algébrique de degré $92$. Il se trouve qu'il est même de degré 71 [voir @OpenProblemsCommunication1987 p.188].
> ---
> Puisque la longueur $lg[L_{n}]$ et la valeur de $L_{n}$ en tant que nombre sont reliés par un encadrement logarithmique : $\operatorname{lg}[L_{n}] \leq \log_{10}(L_{n}) < \operatorname{lg}[L_{n}] + 1$, on peut en déduire assez directement que $L_{n} = O(10^{(\lambda^{n})})$
> [!proposition]+ Théorème cosmologique
> [!proposition] Théorème cosmologique
> Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après un nombre borné de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > [!démonstration] Démonstration
> > La démonstration serait trop complexe pour le cadre de ce devoir. Conway lui-même ne l'a pas publiée dans son article *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay*.
> >
> > La preuve originale de Conway et ses collègues contenait un grand nombre de cas à prouver. La preuve originale et une seconde preuve ont été perdues par Conway et ses collèges[^cos-thm-lost].
@@ -581,6 +585,8 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
[^preuve-algo]: C'est ce que font Ekhad & Zeilberger : «&nbsp;[We compute] iteratively all non-splittable string of length $i$ ($i = 1, 2, \dots$) that might concievably be substrings ('chunks') of an atom in the splitting of a 9-day-old-string (by backtracking, examining its possible ancestors up to (at most) 8 days back and rejecting those that lead to grammatically incorrect ancestors [...]). Every time a string of length $i$ is accepted, its longevity (number of days it takes to decay to stable or transuranic elements) is computed, and checked whether it is finite. The maximal longevity turned out to be 20. The program halts if and when $i$ is reached for which the set of such concievable string of length $i$ is empty.&nbsp;» [@ZeilbergerDoronCosmologicalTheorem]
<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
# Annexes
## Annexe 0 - Au sujet du présent document
@@ -720,8 +726,12 @@ print(f"λ = {np.real(λ)} + {np.imag(λ)}𝑖")
```
<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
# Bibliographie
# Bibliographie et Notes
Cover, T. M., & Gopinath, B. (1987). _Open problems in communication and computation_. Springer-Verlag.
Ekhad, S. B., & Zeilberger, D. (n.d.). _Proof of Conway’s lost cosmological theorem_. Retrieved [https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf)