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MacBookPro.lan 2026-5-3:2:55:30

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2026-05-03 02:55:30 +02:00
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désintégration audioactive.md
+46 -11
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@@ -26,7 +26,7 @@ header-auto-numbering:
# Introduction
La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle a notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui a été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant en "lisant" le précédent. Par exemple "11" se lit "deux uns" ce qui donne "21" ; à son tour "21" se lit "un deux, un un" soit "1211" et ainsi de suite :
- $1 \longrightarrow \text{un } 1$
@@ -40,7 +40,28 @@ Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant e
La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
Dans ce document, nous démontreront certaines propriétés de cette suite. La complexité de quelques unes d'entre elles, comparée à la simplicité de la définition, consitue un exemple.
Pour donner une défintion précise et reproductible de la suite (et pour vérifier certains calculs) on pourra utiliser la définition suivante :
```python
def chaine_suivante(ch: list[int]) -> list[int]:
resultat = [] # future chaine
decompte = 0 # nombre de répétitions
index = 0 # index du parcours
valeur = ch[index] # valeur à compter
while index + 0 < len(ch):
if valeur == ch[index]:
decompte += 1 # incrémenter si la valeur est la même
else:
# enregister decompte,valeur dans résusltat si la valeur est nouvelle
resultat.append(decompte)
resultat.append(valeur)
valeur = ch[index]
decompte=1
index += 1
resultat.append(decompte)
resultat.append(valeur)
return resultat
```
# Notations
- Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
@@ -89,6 +110,9 @@ Dans ce document, nous démontreront certaines propriétés de cette suite. La c
> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
^regroupement
La localité de la fonction de dérivation (le fait que les chiffres éloignés ne s'influencent pas mutuellement dans la dérivation) sera très utile lorsque l'on considèrera les sous-chaines.
## Atomes
> [!definition] Découpage
@@ -127,8 +151,8 @@ Dans ce document, nous démontreront certaines propriétés de cette suite. La c
> > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$
> > L'autre parsing possible est $x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$
> > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$)
> > A nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
> > 2. $x^{3}y^{3}$
> > À nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
> > 1. $x^{3}y^{3}$
> > Encore une fois, considérons les parsing possibles :
> > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$
> > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$
@@ -459,9 +483,9 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
> [!proposition]+ Théorème chimique
> 1. les descendents de chacun des 92 éléments sont des composés de ces éléments
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad A \longrightarrow X_1\cdot X_2\cdot \cdots \quad \text{ où }X_1,X_2,\dots \text{ sont des éléments}$
> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments.
> 2. Tous les descendants suffisament âgés de chacun des éléments (autres que l'Hydrogène $22$) contiennent simultanément les 92 éléments (et on peut borner le nombre de dérivations nécessaires pour atteindre cet état).
> Autrement dit : $\forall A \text{ élément},\quad \exists n\in \mathbb{N},\quad A \longrightarrow^{(n)} X \quad \text{où } X \text{ contient tous les 92 éléments}$
> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent par contenir les 92 éléments simultanément.
> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent (après un nombre borné de dérivations) par contenir les 92 éléments simultanément.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
@@ -493,14 +517,15 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
> > 1. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$.
> > Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). On sait que l'on peut faire ce découpage : $(X\neq 2)\cdot 2^{2}] \longrightarrow (X \neq 2)\cdot 2^{2}$.
> > Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium (la chaîne $\color{crimson}12$ notée $\ce{Ca}$ et indiquée en <span style="color: crimson">rouge</span>) dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium.
> > Il est manifeste que l'apparition du Calcium se fait en un nombre borné d'étapes.
> > La propriété 2. permet de conclure.
> [!definition] Chaine commune
> Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments.
> [!proposition]+ Théorème arithmétique
> 1. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
> 2. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
> 4. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
> 5. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$ le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
@@ -541,10 +566,20 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
> Puisque la longueur $lg[L_{n}]$ et la valeur de $L_{n}$ en tant que nombre sont reliés par un encadrement logarithmique : $\operatorname{lg}[L_{n}] \leq \log_{10}(L_{n}) < \operatorname{lg}[L_{n}] + 1$, on peut en déduire assez directement que $L_{n} = O(10^{(\lambda^{n})})$
> [!proposition]+ Théorème cosmologique
> Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après assez de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
> Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après un nombre borné de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
> > [!démonstration]- Démonstration
> > La démonstration serait trop complexe pour le cadre de ce devoir. Conway lui-même ne l'a pas publiée dans son article *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay*.
> > Des preuves existent, prenant de l'ordre de 15 pages : [@lairezConwaysCosmologicalTheorem2025],
> >
> > La preuve originale de Conway et ses collègues contenait un grand nombre de cas à prouver. La preuve originale et une seconde preuve ont été perdues par Conway et ses collèges[^cos-thm-lost].
> > Des preuves ont été produites par la suite, par exemple celle-ci se basant sur l'étude d'automates en lien avec la suite : [@lairezConwaysCosmologicalTheorem2025].
> > Une approche peut-être plus similaire à celle de Conway et ses collègues serait peut être de tester algorithmiquement les cas pertinents[^preuve-algo].
> >
[^cos-thm-lost]: «&nbsp;Proof of the Cosmological Theorem would fill the rest of this book! Richard Parker and I found a proof over a period of about a month of very intensive work (or, rather, play!). We first produced a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases, and then handled these on dozens of sheets of paper (now lost). Mike Guy found a simpler proof that used tracking and backtracking in roughly equal proportions. Guy’s proof still filled lots of pages (almost all lost) but had the advantage that it found the longest-lived of the exotic elements, namely, the isotopes of Merhuselum (2233322211n ; see Figure 2). Can you find a proof in only a few pages? Please!&nbsp;» [@OpenProblemsCommunication1987 p.]
[^preuve-algo]: C'est ce que font Ekhad & Zeilberger : «&nbsp;[We compute] iteratively all non-splittable string of length $i$ ($i = 1, 2, \dots$) that might concievably be substrings ('chunks') of an atom in the splitting of a 9-day-old-string (by backtracking, examining its possible ancestors up to (at most) 8 days back and rejecting those that lead to grammatically incorrect ancestors [...]). Every time a string of length $i$ is accepted, its longevity (number of days it takes to decay to stable or transuranic elements) is computed, and checked whether it is finite. The maximal longevity turned out to be 20. The program halts if and when $i$ is reached for which the set of such concievable string of length $i$ is empty.&nbsp;» [@ZeilbergerDoronCosmologicalTheorem]
# Annexes
@@ -553,7 +588,6 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
Ce document est inspiré de l'article « *The weird and wonderful chemistry of audioactive decay* » [@coverOpenProblemsCommunication1987] de John H. Conway, dont il tire son ordre démonstratif ainsi que certaines notations. Cependant, je ne l'ai pas produit en «&nbsp;fait confiance&nbsp;» à l'article original : j'ai reproduit chacun des calculs explicités, modifié certaines preuves et explicité des points que Conway avait laissé au lecteur.
## Annexe 1 - Code source utilisé pour le calcul
```python
@@ -686,6 +720,7 @@ print(f"λ = {np.real(λ)} + {np.imag(λ)}𝑖")
```
# Bibliographie
Cover, T. M., & Gopinath, B. (1987). _Open problems in communication and computation_. Springer-Verlag.