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#s/maths/logique
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> [!definition] Définition
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> Une théorie est un ensemble d'énoncés
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Cohérence
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> une théorie est cohérente
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> > [!corollaire] Lemme
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> > Une théorie $T$ est cohérente s'il n'existe pas d'énoncé $f$ tel que $T \vdash f$ et $T \vdash \neg f$
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> >
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> [!proposition]+ Finitude
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> Si $T \vdash f$
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> il existe une partie finie $T_{0}$ de $T$ telle que $T_{0} \vdash f$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > regarder une démonstration de $T \vdash f$
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> > $T_0 = \{ \text{axiomes de } T \text{ qui apparaissent} \}$
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> > C'est une preuve de $T_0 \vdash f$
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>
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> > [!corollaire]
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> > Une théorie $T$ est cohérente si et seulement si toute partie finie de $T$ est cohérente
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> > [!corollaire]
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> > Si $(T_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante ($T_0 \subseteq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \cdots$) de théories **cohérentes**
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> > Alors $\displaystyle T = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} T_{n}$ est cohérente
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> >
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > Soit $F \subseteq T$ une partie finie de $T$
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> > > On se demande si $F$ est cohérente
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> > > $f \in F \leadsto n_{f} \in \mathbb{N} \text{ tq } f \in T_{n_{f}}$
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> > > $\displaystyle n = min_{f \in F}(n_{f})$
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Tout cadre de raisonnement spécifique construit sur un langage donné.
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Dans une approche syntaxique, une théorique logique, aussi appelée alors _théorie axiomatique_, est définie par un ensemble d'[[axiome|axiomes]] et de [[règle d'inférence|règles d'inférence]].
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Dans une approche sémantique, elle est donnée par une interprétation particulière des éléments du langage.
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# Exemple
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Sur un même langage formel, il est possible de construire des théories logiques différentes. Par exemple, le symbole formel d'addition `+` n'aura pas la même interprétation en arithétique classique où l'on a `1+1 = 2`, et dans le [[calcul booléen]], où l'on a `1+1 = 0`.
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