cours/théorie logique.md

#s/maths/logique

[!definition] Définition Une théorie est un ensemble d'énoncés ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Cohérence une théorie est cohérente

[!corollaire] Lemme Une théorie T est cohérente s'il n'existe pas d'énoncé f tel que T \vdash f et T \vdash \neg f

[!proposition]+ Finitude Si T \vdash f il existe une partie finie T_{0} de T telle que T_{0} \vdash f

[!démonstration]- Démonstration regarder une démonstration de T \vdash f T_0 = \{ \text{axiomes de } T \text{ qui apparaissent} \} C'est une preuve de T_0 \vdash f

[!corollaire] Une théorie T est cohérente si et seulement si toute partie finie de T est cohérente

[!corollaire] Si (T_{n})_{n \in \mathbb{N}} est une suite croissante (T_0 \subseteq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \cdots) de théories cohérentes Alors \displaystyle T = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} T_{n} est cohérente

[!démonstration]- Démonstration Soit F \subseteq T une partie finie de T On se demande si F est cohérente f \in F \leadsto n_{f} \in \mathbb{N} \text{ tq } f \in T_{n_{f}} \displaystyle n = min_{f \in F}(n_{f})

%% Tout cadre de raisonnement spécifique construit sur un langage donné.

Dans une approche syntaxique, une théorique logique, aussi appelée alors théorie axiomatique, est définie par un ensemble d'axiome et de règle d'inférence. Dans une approche sémantique, elle est donnée par une interprétation particulière des éléments du langage.

Exemple

Sur un même langage formel, il est possible de construire des théories logiques différentes. Par exemple, le symbole formel d'addition + n'aura pas la même interprétation en arithétique classique où l'on a 1+1 = 2, et dans le calcul booléen, où l'on a 1+1 = 0. %%