#s/maths/logique

> [!definition] Définition
> Une théorie est un ensemble d'énoncés
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Cohérence
> une théorie est cohérente     
> 
> > [!corollaire] Lemme
> > Une théorie $T$ est cohérente s'il n'existe pas d'énoncé $f$ tel que $T \vdash f$ et $T \vdash \neg f$
> > 

> [!proposition]+ Finitude
> Si $T \vdash f$
> il existe une partie finie $T_{0}$ de $T$ telle que $T_{0} \vdash f$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > regarder une démonstration de $T \vdash f$
> > $T_0 = \{ \text{axiomes de } T \text{ qui apparaissent} \}$
> > C'est une preuve de $T_0 \vdash f$
> 
> > [!corollaire]
> > Une théorie $T$ est cohérente si et seulement si toute partie finie de $T$ est cohérente
> 
> > [!corollaire] 
> > Si $(T_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante ($T_0 \subseteq T_1 \subseteq T_2 \subseteq \cdots$) de théories **cohérentes**
> > Alors $\displaystyle T = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} T_{n}$ est cohérente
> > 
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Soit $F \subseteq T$ une partie finie de $T$
> > > On se demande si $F$ est cohérente
> > > $f \in F \leadsto n_{f} \in \mathbb{N} \text{ tq } f \in T_{n_{f}}$
> > > $\displaystyle n = min_{f \in F}(n_{f})$





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Tout cadre de raisonnement spécifique construit sur un langage donné.

Dans une approche syntaxique, une théorique logique, aussi appelée alors _théorie axiomatique_, est définie par un ensemble d'[[axiome|axiomes]] et de [[règle d'inférence|règles d'inférence]].
Dans une approche sémantique, elle est donnée par une interprétation particulière des éléments du langage.

# Exemple
Sur un même langage formel, il est possible de construire des théories logiques différentes. Par exemple, le symbole formel d'addition `+` n'aura pas la même interprétation en arithétique classique où l'on a `1+1 = 2`, et dans le [[calcul booléen]], où l'on a `1+1 = 0`.
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