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BC-list-note-field: down
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up:: [[cours L3]]
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#maths/analyse
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# 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
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## 1.1 - Rappels
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- [[ensemble des parties d'un ensemble]]
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- ensembles [[ensemble infini dénombrable|dénombrables]] et [[ensemble infini non dénombrable|non dénombrables]]
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## 1.2 - opérations sur les ensembles
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> [!definition]- Définition des opérations
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> Soit $E$ un ensemble
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> Soient $A$ et $B$ dans E
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>
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> - $A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}$
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> - $A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}$
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> - $A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}$
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> [!proposition]- Propriétés des ensembles
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> - $\cup$ et $\cap$ sont [[associativité|associatives]]
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> - $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
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> - $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
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> - [[distributivité]]
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> - $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
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> - $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
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> - le [[complémentaire d'un ensemble]] est un morphisme sur $\cap$ et $\cup$
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> - $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$
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> - $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
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> [!proposition]- image réciproque
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>
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> [[application réciproque|réciproque]]
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> Soit $f : E \to F$
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> Soit $B \subset F$ l'image réciproque de $A$ par $F$, notée $B = f^{-1}(A)$
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> [!example]- Exemple
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>
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> $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[$
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>
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> $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
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> $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$
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## 1.3 - Définition et premières propriétés
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- [[tribu]]
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- [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] $\sigma(\mathcal{E})$
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- [[tribu image réciproque]] $f^{-1}(\mathcal{A})$
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- [[tribu borélienne]]
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- [[espace mesurable]]
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- [[fonction mesurable]]
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# 2 - [[cours L3.intégration|mesures postitives]]
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On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
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On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.
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## 2.1 - Définitions et propositions élémentaires
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- [[mesure positive d'une application|mesure positive]]
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## 2.2 - Mesures discrètes
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```breadcrumbs
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type: tree
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collapse: false
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mermaid-direction: LR
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mermaid-renderer: elk
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 3]
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start-note: "mesure positive d'une application.md"
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```
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## 2.3 - Mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
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- [[mesure de Lebesgue]]
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## 2.4 - exemples importants de tribus et de mesures
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- [[tribu trace]]
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# 3 - fonctions mesurables
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- [[fonction mesurable]]
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- [[intégrale de lebesgue]]
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- [[fonction intégrable]]
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- [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]
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# 4 - Exemples de mesures discrètes
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Soit $(E, \mathcal{A})$ un espace mesurable
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Soit $K \subset \mathbb{N}^{*}$
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Soient $(a_{k}) \in E^{K}$ et $(\alpha _{k}) \in E^{K}$ deux familles d'éléments de $E$
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$\mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}$ est une mesure
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(on rappelle que $\delta$ est la [[mesure de Dirac]])
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Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))$
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Si $f$ est [[fonction mesurable|mesurable]] à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}^{+}$, on a :
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$\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)$
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> [!démonstration]- Démonstration
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> 1. si $f = \mathbb{1}_{A}$ avec $A \in \mathcal{A}$
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> $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A)$ par définition de l'[[intégrale de lebesgue]]
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> et donc :
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> $\displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})$
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> 2. par linéarité, $(*)$ est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de [[fonction indicatrice|fonctions indicatrices]])
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> 3. par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive
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# 5 - Théorèmes limites et applications
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## Lemme de Fatou
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- [[lemme de Fatou]]
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## Ensembles et fonctions négligeable
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- [[inégalité de Markov]]
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- [[propriété vraie presque partout]]
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- [[fonction finie presque partout|fonction finie presque partout]]
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- [[fonction négligeable|fonction négligeable]]
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- [[fonctions égales presque partout|fonctions égales presque partout]]
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- [[suite de fonctions convergente presque partout|suite de fonctions convergente presque partout]]
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- [[théorème de convergence dominée]]
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