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up:: [[cours L3]]
#maths/analyse 

# 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
## 1.1 - Rappels
- [[ensemble des parties d'un ensemble]]
- ensembles [[ensemble infini dénombrable|dénombrables]] et [[ensemble infini non dénombrable|non dénombrables]]

## 1.2 - opérations sur les ensembles
> [!definition]- Définition des opérations
> Soit $E$ un ensemble
> Soient $A$ et $B$ dans E
> 
> - $A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}$
> - $A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}$
> - $A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}$

> [!proposition]- Propriétés des ensembles
> - $\cup$ et $\cap$ sont [[associativité|associatives]]
>     - $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
>     - $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
> - [[distributivité]]
>     - $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
>     - $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
> - le [[complémentaire d'un ensemble]] est un morphisme sur $\cap$ et $\cup$
>     - $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$
>     - $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$

> [!proposition]- image réciproque
> 
> [[application réciproque|réciproque]]
> Soit $f : E \to F$
> Soit $B \subset F$ l'image réciproque de $A$ par $F$, notée $B = f^{-1}(A)$

> [!example]- Exemple
> 
> $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[$
> 
> $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
> $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$


## 1.3 - Définition et premières propriétés

- [[tribu]]
    - [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] $\sigma(\mathcal{E})$
    - [[tribu image réciproque]] $f^{-1}(\mathcal{A})$
    - [[tribu borélienne]]
- [[espace mesurable]]
- [[fonction mesurable]]

# 2 - [[cours L3.intégration|mesures postitives]]
On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.

## 2.1 - Définitions et propositions élémentaires

- [[mesure positive d'une application|mesure positive]]

## 2.2 - Mesures discrètes
```breadcrumbs
type: tree
collapse: false
mermaid-direction: LR
mermaid-renderer: elk
field-groups: [downs]
depth: [0, 3]
start-note: "mesure positive d'une application.md"
```


## 2.3 - Mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
- [[mesure de Lebesgue]]


## 2.4 - exemples importants de tribus et de mesures

- [[tribu trace]]

# 3 - fonctions mesurables

- [[fonction mesurable]]
     - [[intégrale de lebesgue]]
     - [[fonction intégrable]]
     - [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]

# 4 - Exemples de mesures discrètes

Soit $(E, \mathcal{A})$ un espace mesurable
Soit $K \subset \mathbb{N}^{*}$
Soient $(a_{k}) \in E^{K}$ et $(\alpha _{k}) \in E^{K}$ deux familles d'éléments de $E$
$\mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}$ est une mesure
(on rappelle que $\delta$ est la [[mesure de Dirac]])
Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))$
Si $f$ est [[fonction mesurable|mesurable]] à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}^{+}$, on a :
$\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)$ 

> [!démonstration]- Démonstration
> 1. si $f = \mathbb{1}_{A}$ avec $A \in \mathcal{A}$
> $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A)$ par définition de l'[[intégrale de lebesgue]]
> et donc :
> $\displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})$
> 2. par linéarité, $(*)$ est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de [[fonction indicatrice|fonctions indicatrices]])
> 3. par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive

# 5 - Théorèmes limites et applications

## Lemme de Fatou

- [[lemme de Fatou]]

## Ensembles et fonctions négligeable
- [[inégalité de Markov]]


- [[propriété vraie presque partout]]
    - [[fonction finie presque partout|fonction finie presque partout]]
    - [[fonction négligeable|fonction négligeable]]
    - [[fonctions égales presque partout|fonctions égales presque partout]]
    - [[suite de fonctions convergente presque partout|suite de fonctions convergente presque partout]]
- [[théorème de convergence dominée]]