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up:: cours L3 #maths/analyse

1 - cours L3.intégration

1.1 - Rappels

1.2 - opérations sur les ensembles

[!definition]- Définition des opérations Soit E un ensemble Soient A et B dans E

A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}

A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}

A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}

[!proposition]- Propriétés des ensembles

\cup et \cap sont associativité

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)

distributivité

(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)

(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)

le complémentaire d'un ensemble est un morphisme sur \cap et \cup

(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}

(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}

[!proposition]- image réciproque

application réciproque Soit f : E \to F Soit B \subset F l'image réciproque de A par F, notée B = f^{-1}(A)

[!example]- Exemple

\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[

f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1] f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[

1.3 - Définition et premières propriétés

tribu
- tribu engendrée par un ensemble \sigma(\mathcal{E})
- tribu image réciproque f^{-1}(\mathcal{A})
- tribu borélienne
espace mesurable
fonction mesurable

2 - cours L3.intégration

On s'intéresse uniquement aux mesures positives. On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.

2.1 - Définitions et propositions élémentaires

mesure positive d'une application

2.2 - Mesures discrètes

type: tree
collapse: false
mermaid-direction: LR
mermaid-renderer: elk
field-groups: [downs]
depth: [0, 3]
start-note: "mesure positive d'une application.md"

2.3 - Mesure de Lebesgue sur `(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))`

mesure de Lebesgue

2.4 - exemples importants de tribus et de mesures

tribu trace

3 - fonctions mesurables

fonction mesurable

4 - Exemples de mesures discrètes

Soit (E, \mathcal{A}) un espace mesurable Soit K \subset \mathbb{N}^{*} Soient (a_{k}) \in E^{K} et (\alpha _{k}) \in E^{K} deux familles d'éléments de E \mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}} est une mesure (on rappelle que \delta est la mesure de Dirac) Soit f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R)) Si f est fonction mesurable à valeurs dans \overline{\mathbb{R}}^{+}, on a : \boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)

[!démonstration]- Démonstration

si f = \mathbb{1}_{A} avec A \in \mathcal{A} \displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A) par définition de l'intégrale de lebesgue et donc : \displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})

par linéarité, (*) est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de fonction indicatrice)

par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au théorème de convergence monotone des intégrales), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive

5 - Théorèmes limites et applications

Lemme de Fatou

lemme de Fatou

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