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- récursif primitif
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> [!definition] [[ensemble récursif primitif]]
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> Un ensemble est dit **récursif primitif** si sa [[fonction caractéristique d'un ensemble]]
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^definition
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# Propriétés
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## Propriétés de clôture
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> [!proposition]+
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> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{n}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]] et si $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ sont récursives primitives
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> Alors l'ensemble :
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> $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid (f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) \in A \}$
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> est aussi récursif primitif (sa fonction caractéristique est $\chi _{A}(f_1, f_2, \dots, f_{n})$)
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> De cela il suit directement que les ensembles suivants sont récursifs primitifs dès que $f, g \in \mathscr{F}_{p}$ :
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> - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
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> - et en particulier $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > 0 \}$
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> - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
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> - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) < g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
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> [!proposition]+ Cloture par opérations booléennes
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> Soit $p \in \mathbb{N}$
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> L'ensemble des sous-ensembles récursifs primitifs de $\mathbb{N}^{p}$ est **clos pour les opérations booléennes** :
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> Si $A, B \subseteq \mathbb{N}^{p}$ sont récursifs primitifs, alors $A \cap B$, $A \cup B$ et $\mathbb{N}^{p} \setminus A$ le sont aussi
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> > [!démonstration] Démonstration
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> > On peut simplement calculer les fonctions caractéristiques de ces ensembles :
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> > - $\chi(A \cap B) = \chi(A) \cdot \chi(B)$
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> > - $\chi(A \cup B) = \operatorname{sg}(\chi(A) + \chi(B))$
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> > - $\chi(\mathbb{N}^{p} \setminus A) = 1 \dot{-} \chi(A)$
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# Exemples
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