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ensemble récursif primitif.md

@@ -11,6 +11,33 @@ aliases:
 
 # Propriétés
 
+## Propriétés de clôture
+
+> [!proposition]+ 
+> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{n}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]] et si $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ sont récursives primitives
+> Alors l'ensemble :
+> $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid (f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) \in A \}$
+> est aussi récursif primitif (sa fonction caractéristique est $\chi _{A}(f_1, f_2, \dots, f_{n})$)
+> ---
+> De cela il suit directement que les ensembles suivants sont récursifs primitifs dès que $f, g \in \mathscr{F}_{p}$ :
+>  - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
+>      - et en particulier $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > 0 \}$
+>  - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p})  \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
+>  - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) < g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
+
+
+> [!proposition]+ Cloture par opérations booléennes
+> Soit $p \in \mathbb{N}$
+> L'ensemble des sous-ensembles récursifs primitifs de $\mathbb{N}^{p}$ est **clos pour les opérations booléennes** :
+> Si $A, B \subseteq \mathbb{N}^{p}$ sont récursifs primitifs, alors $A \cap B$, $A \cup B$ et $\mathbb{N}^{p} \setminus A$ le sont aussi
+> > [!démonstration] Démonstration
+> > On peut simplement calculer les fonctions caractéristiques de ces ensembles :
+> >  - $\chi(A \cap B) = \chi(A) \cdot \chi(B)$
+> >  - $\chi(A \cup B) = \operatorname{sg}(\chi(A) + \chi(B))$
+> >  - $\chi(\mathbb{N}^{p} \setminus A) = 1 \dot{-} \chi(A)$
+
+
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 # Exemples
 
 

fonction récursive primitive.md

@@ -155,10 +155,9 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > Alors la fonction $\lambda x_1 x_2\dots x_{p}. f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(p)})$ est aussi récursive primitive
 >  - dem cette fonction est égale à $f(P_{p}^{\sigma(1)}, P_{p}^{\sigma(2)}, \dots, P_{p}^{\sigma(p)})$
 
-> [!proposition]+ 
-> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{n}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]] et si $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ sont récursives primitives
-> Alors l'ensemble :
-> $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid (f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) \in A \}$
-> est aussi récursif primitif (sa fonction caractéristique est $\chi _{A}(f_1, f_2, \dots, f_{n})$)
+## Schémas de définition supplémentaires
+On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stables sur les fonctions récursives primitives.
+
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 # Exemples