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  - récursif primitif
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> [!definition] [[ensemble récursif primitif]]
> Un ensemble est dit **récursif primitif** si sa [[fonction caractéristique d'un ensemble]]
^definition

# Propriétés

## Propriétés de clôture

> [!proposition]+ 
> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{n}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]] et si $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ sont récursives primitives
> Alors l'ensemble :
> $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid (f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) \in A \}$
> est aussi récursif primitif (sa fonction caractéristique est $\chi _{A}(f_1, f_2, \dots, f_{n})$)
> ---
> De cela il suit directement que les ensembles suivants sont récursifs primitifs dès que $f, g \in \mathscr{F}_{p}$ :
>  - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
>      - et en particulier $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > 0 \}$
>  - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p})  \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$
>  - $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) < g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}$


> [!proposition]+ Cloture par opérations booléennes
> Soit $p \in \mathbb{N}$
> L'ensemble des sous-ensembles récursifs primitifs de $\mathbb{N}^{p}$ est **clos pour les opérations booléennes** :
> Si $A, B \subseteq \mathbb{N}^{p}$ sont récursifs primitifs, alors $A \cap B$, $A \cup B$ et $\mathbb{N}^{p} \setminus A$ le sont aussi
> > [!démonstration] Démonstration
> > On peut simplement calculer les fonctions caractéristiques de ces ensembles :
> >  - $\chi(A \cap B) = \chi(A) \cdot \chi(B)$
> >  - $\chi(A \cup B) = \operatorname{sg}(\chi(A) + \chi(B))$
> >  - $\chi(\mathbb{N}^{p} \setminus A) = 1 \dot{-} \chi(A)$



# Exemples