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up:: [[intégration]]
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#s/maths/intégration
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> [!proposition]+ théorème de Fubini
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> Soient $(E, \mathcal{A}, \mu)$ et $(F, \mathcal{B}, \nu)$ deux [[espace mesuré|espaces mesurés]] tels que $\mu$ et $\nu$ soient [[mesure sigma finie|σ-finies]]
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> Soit $f$ [[fonction intégrable|intégrable]] sur $(E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}, \mu \otimes \nu)$
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> 1. pour presque tout $x \in E$ :
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> - la fonction $y \mapsto f(x, y)$ est $\nu$-intégrable
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> - la fonction $x \mapsto f(x, y)$ est $\mu$-intégrable
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> 2. échanger $x \longleftrightarrow y$ et $\mu \longleftrightarrow \nu$
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> 3. $\begin{align} \int_{E\times F} f \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left( \int_{F} f(x, y) \, \nu(dx) \right) \, \mu(dy) \\&= \int_{F} \left( \int_{E} f(x, y) \, \mu(dy) \right) \, \nu(dx) \end{align}$
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# Exemples
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## Exemple 1
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$D = [0; +\infty[ \times [0; 1]$
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$\begin{align} f : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R} \\ (x, y) &\mapsto \cos(xy)e^{ -tx } \end{align}$ avec $t>0$
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On veut calculer $\displaystyle I = \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2}$
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On a :
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$$
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\begin{align}
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\int_{\mathbb{R}^{2}} \left| f\mathbb{1}_{D} \right| \, d\lambda _{2} &\leq \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{ -tx } \mathbb{1}_{D}(x, y) \, dx dy \\
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&\leq \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} e^{ -tx } \, dy \right) \, dx \\
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&\leq \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \, dx = \frac{1}{t} \\
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&\leq +\infty & \text{car } t > 0
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\end{align}
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$$
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Donc $f\mathbb{1}_{D}$ est intégrable
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$$
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\begin{align}
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I &= \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2} \\
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&= \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} \cos(xy)e^{ -tx } \, dy \right) \, dx \\
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&= \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \left[ \frac{\sin(xy)}{x} \right]_{0}^{1} \, dx \\
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&= \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{ -tx } \, dx
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\end{align}
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$$
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Mais on a aussi :
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$$
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\begin{align}
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I &= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \cos(xy)e^{ -tx } \, dx \right) \, dy \\
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&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy }) e^{ -tx } \, dx \right) \, dy \\
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&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy } e^{ -tx }) \, dx \right) \, dy \\
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&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ - x (t - iy)} ) \, dx \right) \, dy \\
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&= \arctan\left( \frac{1}{t} \right)
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\end{align}
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$$
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