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#s/maths/intégration 

> [!proposition]+ théorème de Fubini
> Soient $(E, \mathcal{A}, \mu)$ et $(F, \mathcal{B}, \nu)$ deux [[espace mesuré|espaces mesurés]] tels que $\mu$ et $\nu$ soient [[mesure sigma finie|σ-finies]]
> Soit $f$ [[fonction intégrable|intégrable]] sur $(E\times F, \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}, \mu \otimes \nu)$ 
>  1. pour presque tout $x \in E$ :
>      - la fonction $y \mapsto f(x, y)$ est $\nu$-intégrable
>      - la fonction $x \mapsto f(x, y)$ est $\mu$-intégrable
>  2. échanger $x \longleftrightarrow y$ et $\mu \longleftrightarrow \nu$
>  3. $\begin{align} \int_{E\times F} f \, d\mu \otimes \nu &= \int_{E} \left(  \int_{F} f(x, y) \, \nu(dx) \right) \, \mu(dy) \\&= \int_{F} \left(  \int_{E} f(x, y) \, \mu(dy) \right) \, \nu(dx) \end{align}$
> 


# Exemples

## Exemple 1
$D = [0; +\infty[ \times [0; 1]$
$\begin{align} f : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R} \\ (x, y) &\mapsto \cos(xy)e^{ -tx } \end{align}$ avec $t>0$
On veut calculer $\displaystyle I = \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2}$
On a :
$$
\begin{align} 
\int_{\mathbb{R}^{2}} \left| f\mathbb{1}_{D} \right|  \, d\lambda _{2} &\leq  \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{ -tx } \mathbb{1}_{D}(x, y) \, dx dy \\
&\leq  \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} e^{ -tx } \, dy  \right) \, dx \\
&\leq  \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \, dx = \frac{1}{t}  \\
&\leq  +\infty & \text{car } t > 0
\end{align}
$$
Donc $f\mathbb{1}_{D}$ est intégrable

$$
\begin{align} 
I &= \int_{\mathbb{R}^{2}} f \mathbb{1}_{D} \, d\lambda _{2} \\
&= \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{1} \cos(xy)e^{ -tx } \, dy  \right) \, dx \\
&= \int_{0}^{+\infty} e^{ -tx } \left[ \frac{\sin(xy)}{x} \right]_{0}^{1}  \, dx \\
&= \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{ -tx } \, dx 
\end{align}
$$
Mais on a aussi :
$$
\begin{align} 
I &= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \cos(xy)e^{ -tx } \, dx  \right) \, dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy }) e^{ -tx } \, dx  \right) \, dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ ixy } e^{ -tx }) \, dx  \right) \, dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{+\infty} \Re(e^{ - x (t - iy)} ) \, dx  \right) \, dy \\
&= \arctan\left( \frac{1}{t} \right)
\end{align}
$$