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up:
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- "[[filtre]]"
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tags:
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- s/maths/logique
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aliases:
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- ultrafiltre
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> [!definition] Définition
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> Soit $X$ un ensemble
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> Un **ultrafiltre** sur $X$ est un filtre [[filtre#^relation-d-ordre|maximal]] parmi les filtres non-[[filtre#^filtre-trivial|triviaux]]
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$
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> On a :
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> $\mathscr{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathscr{F}$, soit $X-A \in \mathscr{F}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\boxed{\impliedby}$
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> > Soit $\mathscr{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathscr{F}$
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> > Démontrons que $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
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> > - $\mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F}$ ?
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> > Soit $A \in \mathscr{F}'$, prouvons $A \in \mathscr{F}$
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> > Sinon, $A \notin \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}'$
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> > donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathscr{F}'$ ce qui contredit que $\mathscr{F}'$ soit non-trivial
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> > - $\boxed{\implies}$
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> > Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$
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> > Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathscr{F}$ ou $X - A \in \mathscr{F}$
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> > supposons $X - A \notin \mathscr{F}$ et démontrons $A \in \mathscr{F}$
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> > Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathscr{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathscr{F}$ (on démontrera son existence ensuite)
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> > Alors $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
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> > $A \in \mathscr{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathscr{F}$
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> >
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> >
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> [!proposition]+ Tout filtre non trivial est contenu dans un ultrafiltre
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