cours/ultrafiltre.md

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filtre	s/maths/logique	ultrafiltre

[!definition] Définition Soit X un ensemble Un ultrafiltre sur X est un filtre filtre#^relation-d-ordre parmi les filtres non-filtre#^filtre-trivial ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit \mathscr{F} un filtre non-filtre#^filtre-trivial sur un ensemble X On a : \mathscr{F} est un ultrafiltre#^definition \iff pour toute partie A \subseteq X, soit A \in \mathscr{F}, soit X-A \in \mathscr{F}

[!démonstration]- Démonstration

• \boxed{\impliedby} Soit \mathscr{F}' un filtre non-trivial contenant \mathscr{F} Démontrons que \mathscr{F}' = \mathscr{F}
  • \mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F} ? Soit A \in \mathscr{F}', prouvons A \in \mathscr{F} Sinon, A \notin \mathscr{F}, donc X - A \in \mathscr{F}, donc X - A \in \mathscr{F}' donc \emptyset = A \cap (X - A) \in \mathscr{F}' ce qui contredit que \mathscr{F}' soit non-trivial
• \boxed{\implies} Soit \mathscr{F} un ultrafiltre#^definition sur X Soit A \subseteq X, prenons A \in \mathscr{F} ou X - A \in \mathscr{F} supposons X - A \notin \mathscr{F} et démontrons A \in \mathscr{F} Soit \mathscr{F}' l'ensemble des parties B de X telles qu'il existe C \in \mathscr{F} tq B \supseteq A \cap C \mathscr{F}' est un filtre non trivial contenant \mathscr{F} (on démontrera son existence ensuite) Alors \mathscr{F}' = \mathscr{F} A \in \mathscr{F}' car A \supseteq A \cap X avec X \in \mathscr{F}

[!proposition]+ Tout filtre non trivial est contenu dans un ultrafiltre