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up:
  - "[[filtre]]"
tags:
  - s/maths/logique
aliases:
  - ultrafiltre
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> [!definition] Définition
> Soit $X$ un ensemble
> Un **ultrafiltre** sur $X$ est un filtre [[filtre#^relation-d-ordre|maximal]] parmi les filtres non-[[filtre#^filtre-trivial|triviaux]]
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$
> On a :
> $\mathscr{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathscr{F}$, soit $X-A \in \mathscr{F}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\boxed{\impliedby}$
> >   Soit $\mathscr{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathscr{F}$
> >   Démontrons que $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
> >     - $\mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F}$ ?
> >       Soit $A \in \mathscr{F}'$, prouvons $A \in \mathscr{F}$
> >       Sinon, $A \notin \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}'$
> >       donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathscr{F}'$ ce qui contredit que $\mathscr{F}'$ soit non-trivial
> > - $\boxed{\implies}$
> >   Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$
> >   Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathscr{F}$ ou $X - A \in \mathscr{F}$
> >   supposons $X - A \notin \mathscr{F}$ et démontrons $A \in \mathscr{F}$
> >   Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathscr{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathscr{F}$  (on démontrera son existence ensuite)
> >   Alors $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
> >   $A \in \mathscr{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathscr{F}$
> >   
> >   

> [!proposition]+ Tout filtre non trivial est contenu dans un ultrafiltre
>