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up:: [[intégration]]
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sibling:: [[intégrale de Riemann]]
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#maths/analyse
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> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]]
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> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
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> Soit $f$ une [[fonction étagée positive]] telle que $f = \sum\limits_{i = 1}^{m} \underbracket{a_{i}}_{\in \mathbb{R}^{+}} \mathbb{1}_{A_{i}}$
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> avec $A_{i} = f^{-1}(\{ \alpha _{i} \})$ une suite d'ensembles deux-à-deux disjoints
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>
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> On appelle **intégrale de $f$ par rapport à $\mu$**, et on note $\int_{E} f\, d\mu$, l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ donné par :
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> $\boxed{\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sum\limits_{i}^{n} \Big(\alpha _{i} \mu(A_{i})\Big)}$
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^definition-foncitons-etagees-positives
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> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]]
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> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Soit $f : E \to \overline{\mathbb{R}^{+}}$ une [[fonction mesurable]] de $(E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}^{+}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^{+}})$
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> On appelle intégrale de $f$ par rapport à $\mu$ l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ suivant :
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> $\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \leq f \right\}$
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^definition-fonctions-mesurables
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Linéarité de l'intégrale
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> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]], et avec $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$, on a :
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> $\boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On note $f = \sum\limits_{i=1}^{m} (\alpha _{i} \mathbb{1}_{A_{i}})$ et $g = \sum\limits_{i=1}^{l} (\beta _{i} \mathbb{1}_{B_{i}})$
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> > Il est clair que $\int _{E} \lambda f \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu$ par distributivité
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> > Notons :
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> > - $(\gamma _{k})_{1 \leq k \leq p}$ les valeurs distinctes prises par $f+g$
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> > - $\displaystyle C_{k} = (f+g)^{-1}(\{ \gamma _{k} \}) = \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j})$
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> > où $I_{k} = \{ (i, j) \mid \alpha _{i} + \beta _{j} = \gamma _{k} \}$
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> >
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> > $f+g = \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot\mathbb{1}_{C_{k}})$
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> > donc :
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> > $$\begin{align}
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> > \int _{E} (f+g) \, d\mu &= \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot \mu(C_{k})) \\
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> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \gamma _{k} \cdot \mu \underbrace{\left( \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j}) \right)}_{\text{réunion 2 à 2 disjointe}} \right) \\
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> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \underbrace{(\alpha _{i} + \beta _{j})}_{ =\gamma _{k}} \cdot \mu (A_{i} \cap B_{j}) \right) \\
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> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) + \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) \\
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> > &= \sum\limits_{i=1}^{m} \left( \sum\limits_{j=1}^{l} (\alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{i})) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right)\\
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> > &= \sum\limits_{i=1} ^{n} \left( a_{i} \cdot \mu\left( A_{i} \cap \left( \bigcup _{j = 1} ^{l} B_{j} \right) \right) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \beta _{j} \cdot \mu\left( \left( \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} \right) \cap B_{j} \right) \right) & \text{or } \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} = \bigcup _{j = 1}^{l} B_{i} = E \text{ donc :}\\
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> > &= \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu
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> > \end{align}$$
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> >
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^linearite
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> [!proposition]+ Comparaison des fonctions
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> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telles que $0 \leq f \leq g$
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> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Il suffit de remarque que $g - f$ est aussi une [[fonction étagée positive]], et donc, d'après la [[intégrale de lebesgue#^linearite|linéarité]] :
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> > $\displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}$
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> >
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> [!proposition]+ Croissance de l'intégrale
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> Si $f$ et $g$ sont des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] positives
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> Avec $f \leq g$, alors :
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> $\boxed{\displaystyle \int _{E} f\, d \mu \leq \int _{E} g \, d\mu}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On pose $\mathscr{F} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq f \}$
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> > et $\mathscr{G} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq g \}$
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> > $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{G}$
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> > donc, par passage au [[supremum]] :
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> > $\sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \in \mathscr{F} \right\} \leq \sup \left\{ \int _{E} v \, d\mu \mid v \in \mathscr{G} \right\}$
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> > C'est-à-dire :
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> > $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
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![[théorème de convergence monotone#^theoreme]]
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# Exemples
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