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[!definition] intégrale de lebesgue sur des fonction étagée positive Soit (E, \mathcal{A}, \mu) un espace mesuré Soit f une fonction étagée positive telle que f = \sum\limits_{i = 1}^{m} \underbracket{a_{i}}_{\in \mathbb{R}^{+}} \mathbb{1}_{A_{i}} avec A_{i} = f^{-1}(\{ \alpha _{i} \}) une suite d'ensembles deux-à-deux disjoints

On appelle intégrale de f par rapport à $\mu$, et on note \int_{E} f\, d\mu, l'élément de \overline{\mathbb{R}^{+}} donné par : \boxed{\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sum\limits_{i}^{n} \Big(\alpha _{i} \mu(A_{i})\Big)} ^definition-foncitons-etagees-positives

[!definition] intégrale de lebesgue sur des fonction mesurable Dans l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soit f : E \to \overline{\mathbb{R}^{+}} une fonction mesurable de (E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}^{+}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^{+}}) On appelle intégrale de f par rapport à \mu l'élément de \overline{\mathbb{R}^{+}} suivant : \displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \leq f \right\} ^definition-fonctions-mesurables

Propriétés

[!proposition]+ Linéarité de l'intégrale Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Si f et g sont deux fonction étagée positive, et avec \lambda \in \mathbb{R}^{+}, on a : \boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}

[!démonstration]- Démonstration On note f = \sum\limits_{i=1}^{m} (\alpha _{i} \mathbb{1}_{A_{i}}) et g = \sum\limits_{i=1}^{l} (\beta _{i} \mathbb{1}_{B_{i}}) Il est clair que \int _{E} \lambda f \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu par distributivité Notons :

• (\gamma _{k})_{1 \leq k \leq p} les valeurs distinctes prises par f+g
• \displaystyle C_{k} = (f+g)^{-1}(\{ \gamma _{k} \}) = \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j}) où I_{k} = \{ (i, j) \mid \alpha _{i} + \beta _{j} = \gamma _{k} \}

f+g = \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot\mathbb{1}_{C_{k}}) donc : $$\begin{align} \int {E} (f+g) , d\mu &= \sum\limits{k=1}^{p} (\gamma {k} \cdot \mu(C{k})) \ &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \gamma {k} \cdot \mu \underbrace{\left( \bigcup {(i, j) \in I{k}} (A{i} \cap B_{j}) \right)}{\text{réunion 2 à 2 disjointe}} \right) \ &= \sum\limits{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \underbrace{(\alpha {i} + \beta {j})}{ =\gamma {k}} \cdot \mu (A{i} \cap B{j}) \right) \ &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \alpha {i} \cdot \mu(A{i} \cap B_{j}) \right) + \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \beta {j} \cdot \mu(A{i} \cap B_{j}) \right) \ &= \sum\limits_{i=1}^{m} \left( \sum\limits_{j=1}^{l} (\alpha {i} \cdot \mu(A{i} \cap B_{i})) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \beta {j} \cdot \mu(A{i} \cap B_{j}) \right)\ &= \sum\limits_{i=1} ^{n} \left( a_{i} \cdot \mu\left( A_{i} \cap \left( \bigcup {j = 1} ^{l} B{j} \right) \right) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \beta {j} \cdot \mu\left( \left( \bigcup {i=1}^{m} A{i} \right) \cap B{j} \right) \right) & \text{or } \bigcup {i=1}^{m} A{i} = \bigcup {j = 1}^{l} B{i} = E \text{ donc :}\ &= \int _{E} f , d\mu + \int _{E} g , d\mu \end{align}$$

^linearite

[!proposition]+ Comparaison des fonctions Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Si f et g sont deux fonction étagée positive telles que 0 \leq f \leq g \displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu

[!démonstration]- Démonstration Il suffit de remarque que g - f est aussi une fonction étagée positive, et donc, d'après la intégrale de lebesgue#^linearite : \displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}

[!proposition]+ Croissance de l'intégrale Si f et g sont des fonction mesurable positives Avec f \leq g, alors : \boxed{\displaystyle \int _{E} f\, d \mu \leq \int _{E} g \, d\mu}

[!démonstration]- Démonstration On pose \mathscr{F} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq f \} et \mathscr{G} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq g \} \mathscr{F} \subseteq \mathscr{G} donc, par passage au supremum : \sup \left\{ \int _{E} u \, d\mu \mid u \in \mathscr{F} \right\} \leq \sup \left\{ \int _{E} v \, d\mu \mid v \in \mathscr{G} \right\} C'est-à-dire : \displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu

!théorème de convergence monotone#^theoreme

Exemples