up:: [[intégration]]
sibling:: [[intégrale de Riemann]]
#maths/analyse 

> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]]
> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
> Soit $f$ une [[fonction étagée positive]] telle que $f = \sum\limits_{i = 1}^{m} \underbracket{a_{i}}_{\in \mathbb{R}^{+}} \mathbb{1}_{A_{i}}$
> avec $A_{i} = f^{-1}(\{ \alpha _{i} \})$ une suite d'ensembles deux-à-deux disjoints
> 
> On appelle **intégrale de $f$ par rapport à $\mu$**, et on note $\int_{E} f\, d\mu$, l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ donné par :
> $\boxed{\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sum\limits_{i}^{n} \Big(\alpha _{i} \mu(A_{i})\Big)}$
^definition-foncitons-etagees-positives

> [!definition] [[intégrale de lebesgue]] sur des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]]
> Dans l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Soit $f : E \to \overline{\mathbb{R}^{+}}$ une [[fonction mesurable]] de $(E, \mathcal{A}) \to (\overline{\mathbb{R}^{+}}, \mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}^{+}})$ 
> On appelle intégrale de $f$ par rapport à $\mu$ l'élément de $\overline{\mathbb{R}^{+}}$ suivant :
> $\displaystyle\int _{E} f \, d\mu = \sup \left\{  \int _{E} u \, d\mu  \mid u \leq f \right\}$
^definition-fonctions-mesurables

# Propriétés

> [!proposition]+ Linéarité de l'intégrale
> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]], et avec $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$, on a :
> $\boxed{\displaystyle \int _{E} (\lambda f + g) \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu}$ 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On note $f = \sum\limits_{i=1}^{m} (\alpha _{i} \mathbb{1}_{A_{i}})$ et $g = \sum\limits_{i=1}^{l} (\beta _{i} \mathbb{1}_{B_{i}})$
> > Il est clair que $\int _{E} \lambda f \, d\mu = \lambda \int _{E} f \, d\mu$ par distributivité
> > Notons :
> > - $(\gamma _{k})_{1 \leq k \leq p}$ les valeurs distinctes prises par $f+g$
> > - $\displaystyle C_{k} = (f+g)^{-1}(\{ \gamma _{k} \}) = \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j})$
> > où $I_{k} = \{ (i, j) \mid \alpha _{i} + \beta _{j} = \gamma _{k} \}$
> > 
> > $f+g = \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot\mathbb{1}_{C_{k}})$
> > donc :
> > $$\begin{align}
> > \int _{E} (f+g) \, d\mu &= \sum\limits_{k=1}^{p} (\gamma _{k} \cdot \mu(C_{k})) \\
> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left(  \gamma _{k} \cdot \mu \underbrace{\left(  \bigcup _{(i, j) \in I_{k}} (A_{i} \cap B_{j}) \right)}_{\text{réunion 2 à 2 disjointe}}  \right) \\
> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left(  \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \underbrace{(\alpha _{i} + \beta _{j})}_{ =\gamma _{k}} \cdot \mu (A_{i} \cap B_{j})  \right) \\
> > &= \sum\limits_{k=1}^{p} \left(  \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) + \sum\limits_{k=1}^{p} \left( \sum\limits_{(i, j) \in I_{k}} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j}) \right) \\
> > &= \sum\limits_{i=1}^{m} \left( \sum\limits_{j=1}^{l} (\alpha _{i} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{i})) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left(  \sum\limits_{i=1}^{n} \beta _{j} \cdot \mu(A_{i} \cap B_{j})  \right)\\
> > &= \sum\limits_{i=1} ^{n} \left(  a_{i} \cdot \mu\left( A_{i} \cap \left(  \bigcup _{j = 1} ^{l} B_{j} \right) \right) \right) + \sum\limits_{j=1}^{l} \left( \beta _{j} \cdot \mu\left(  \left( \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} \right) \cap B_{j} \right) \right) & \text{or } \bigcup _{i=1}^{m} A_{i} = \bigcup _{j = 1}^{l} B_{i} = E \text{ donc :}\\
> > &= \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu
> > \end{align}$$
> > 
^linearite

> [!proposition]+ Comparaison des fonctions
> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telles que $0 \leq f \leq g$
> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Il suffit de remarque que $g - f$ est aussi une [[fonction étagée positive]], et donc, d'après la [[intégrale de lebesgue#^linearite|linéarité]] :
> > $\displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu =  \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}$
> > 

> [!proposition]+ Croissance de l'intégrale
> Si $f$ et $g$ sont des [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] positives
> Avec $f \leq g$, alors :
> $\boxed{\displaystyle \int _{E} f\, d \mu \leq \int _{E} g \, d\mu}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On pose $\mathscr{F} = \{ u \text{ étagée positive} \mid u \leq f \}$
> > et $\mathscr{G} = \{  u \text{ étagée positive} \mid u \leq g \}$
> > $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{G}$
> > donc, par passage au [[supremum]] :
> > $\sup \left\{  \int _{E} u \, d\mu  \mid u \in  \mathscr{F} \right\} \leq \sup \left\{  \int _{E} v \, d\mu \mid v \in \mathscr{G} \right\}$
> > C'est-à-dire :
> > $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$

![[théorème de convergence monotone#^theoreme]]

# Exemples