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aliases:
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- tribus
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up:: [[structure algébrique]]
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#maths/algèbre #maths/intégration
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> [!definition] tribu
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> Une tribu $\mathcal{A}$ sur $E$ est un sous-ensemble de $\mathscr{P}(E)$ telle que :
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> - $\emptyset \in \mathcal{A}$
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> - si $A \in \mathcal{A}$ alors $A^{C} \in \mathcal{A}$ (stable par le [[complémentaire d'un ensemble|complémentaire]])
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> - si $I$ est fini ou [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]] et $\forall i \in I, \quad A_{i} \in \mathcal{A}$, alors $\displaystyle\bigcap _{i \in I} (A_{i} ) \in \mathcal{A}$
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^definition
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> [!definition] tribu - définition intuitive
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> Une tribu $\mathcal{A}$ sur $E$ est un sous-ensemble de $\mathscr{P}(E)$
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^definition
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# Propriétés
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Soit $\mathcal{A}$ une tribu sur $E$
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- $E = \emptyset^{C}$ donc $E \in \mathcal{A}$
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- $\displaystyle \bigcup _{i \in I} (A_{i}) \in \mathcal{A}$ car $\displaystyle \bigcap _{i \in I} (A_{i}) = \left( \bigcup _{i \in I} \left( A_{i}^{C} \right) \right)^{C}$
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> [!example] cas extrêmes
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> $\{ \emptyset; E \}$ est la plus petite tribu sur $E$ (au sens de l'inclusion)
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> $\mathscr{P}(E)$ est la plus grande tribu sur $E$ (au sens de l'inclusion)
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> [!info] intersection de tribus
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> L'intersection de tribus sur $E$ est une tribu sur $E$.
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> [[démonstration l'intersection de tribus sur E est une tribu sur E|démonstration]]
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> [!info] [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] d'une [[tribu image réciproque]]
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> Soit $f : E \to F$
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> Soit $\mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F)$
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> $\displaystyle \underbrace{f^{-1}(\underbrace{\sigma(\mathcal{E})}_{\text{tribu sur }F})}_{\text{tribu sur } E} = \underbrace{\sigma(\underbrace{f^{-1}(\mathcal{E})}_{\text{éléments de }E})}_{\text{tribu sur }E}$
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> Autrement dit : $f^{-1} \circ \sigma = \sigma \circ f^{-1}$
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> [!query]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
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> ```breadcrumbs
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> title: false
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> type: tree
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> dir: down
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> ```
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