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aliases:
  - tribus
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up:: [[structure algébrique]]
#maths/algèbre #maths/intégration 

> [!definition] tribu
> Une tribu $\mathcal{A}$ sur $E$ est un sous-ensemble de $\mathscr{P}(E)$ telle que :
> - $\emptyset \in \mathcal{A}$
> - si $A \in \mathcal{A}$ alors $A^{C} \in \mathcal{A}$ (stable par le [[complémentaire d'un ensemble|complémentaire]])
> - si $I$ est fini ou [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]] et $\forall i \in I, \quad A_{i} \in \mathcal{A}$, alors $\displaystyle\bigcap _{i \in I} (A_{i}  ) \in \mathcal{A}$
^definition

> [!definition] tribu - définition intuitive
> Une tribu $\mathcal{A}$ sur $E$ est un sous-ensemble de $\mathscr{P}(E)$
^definition

# Propriétés

Soit $\mathcal{A}$ une tribu sur $E$

- $E = \emptyset^{C}$ donc $E \in \mathcal{A}$
- $\displaystyle \bigcup _{i \in I} (A_{i}) \in \mathcal{A}$ car $\displaystyle \bigcap _{i \in I} (A_{i}) = \left( \bigcup _{i \in I} \left( A_{i}^{C} \right) \right)^{C}$


> [!example] cas extrêmes
> $\{ \emptyset; E \}$ est la plus petite tribu sur $E$ (au sens de l'inclusion)
> $\mathscr{P}(E)$ est la plus grande tribu sur $E$ (au sens de l'inclusion)

> [!info] intersection de tribus
> L'intersection de tribus sur $E$ est une tribu sur $E$.
> [[démonstration l'intersection de tribus sur E est une tribu sur E|démonstration]]


> [!info] [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] d'une [[tribu image réciproque]]
> Soit $f : E \to F$
> Soit $\mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F)$
> $\displaystyle \underbrace{f^{-1}(\underbrace{\sigma(\mathcal{E})}_{\text{tribu sur }F})}_{\text{tribu sur } E} = \underbrace{\sigma(\underbrace{f^{-1}(\mathcal{E})}_{\text{éléments de }E})}_{\text{tribu sur }E}$
> 
> Autrement dit : $f^{-1} \circ \sigma = \sigma \circ f^{-1}$


> [!query]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
> ```breadcrumbs
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> ```