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tribus

up:: structure algébrique #maths/algèbre #maths/intégration

[!definition] tribu Une tribu \mathcal{A} sur E est un sous-ensemble de \mathscr{P}(E) telle que :

• \emptyset \in \mathcal{A}
• si A \in \mathcal{A} alors A^{C} \in \mathcal{A} (stable par le complémentaire d'un ensemble)
• si I est fini ou ensemble infini dénombrable et \forall i \in I, \quad A_{i} \in \mathcal{A}, alors \displaystyle\bigcap _{i \in I} (A_{i} ) \in \mathcal{A} ^definition

[!definition] tribu - définition intuitive Une tribu \mathcal{A} sur E est un sous-ensemble de \mathscr{P}(E) ^definition

Propriétés

Soit \mathcal{A} une tribu sur E

• E = \emptyset^{C} donc E \in \mathcal{A}
• \displaystyle \bigcup _{i \in I} (A_{i}) \in \mathcal{A} car \displaystyle \bigcap _{i \in I} (A_{i}) = \left( \bigcup _{i \in I} \left( A_{i}^{C} \right) \right)^{C}

[!example] cas extrêmes \{ \emptyset; E \} est la plus petite tribu sur E (au sens de l'inclusion) \mathscr{P}(E) est la plus grande tribu sur E (au sens de l'inclusion)

[!info] intersection de tribus L'intersection de tribus sur E est une tribu sur E. démonstration l'intersection de tribus sur E est une tribu sur E

[!info] tribu engendrée par un ensemble d'une tribu image réciproque Soit f : E \to F Soit \mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F) \displaystyle \underbrace{f^{-1}(\underbrace{\sigma(\mathcal{E})}_{\text{tribu sur }F})}_{\text{tribu sur } E} = \underbrace{\sigma(\underbrace{f^{-1}(\mathcal{E})}_{\text{éléments de }E})}_{\text{tribu sur }E}

Autrement dit : f^{-1} \circ \sigma = \sigma \circ f^{-1}

[!query]+ Sous-notes de $= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")

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