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up:: [[inégalité triangulaire]]
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#maths/algèbre
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> [!definition] [[seconde inégalité triangulaire]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Quels que soient $x_0, x, y \in X$ on a :
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> $\boxed{|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)}$
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^definition
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> [!démonstration]- Démonstration
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> Par l'[[inégalité triangulaire]], on a $d(x_0, x) \leq d(x_0, y) + d(y, x)$
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> alors $d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y)$
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> et de même, $d(x_0, y) \leq d(x_0, x) + d(x, y)$
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> On obtient donc : $d(x_0, y) - d(x_0, x) \leq d(x, y)$
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> En multipliant par $-1$, on obtient $d(x_0, x) - d(x_0, y) \geq -d(x, y)$
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> D'où $-d(x, y) \leq d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y)$
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> Et donc, on a bien $|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)$
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