up:: [[inégalité triangulaire]]
#maths/algèbre 

> [!definition] [[seconde inégalité triangulaire]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Quels que soient $x_0, x, y \in X$ on a :
> $\boxed{|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)}$
^definition

> [!démonstration]- Démonstration
> Par l'[[inégalité triangulaire]], on a $d(x_0, x) \leq d(x_0, y) + d(y, x)$
> alors $d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y)$
> et de même, $d(x_0, y) \leq d(x_0, x) + d(x, y)$
> On obtient donc : $d(x_0, y) - d(x_0, x) \leq d(x, y)$
> En multipliant par $-1$, on obtient $d(x_0, x) - d(x_0, y) \geq -d(x, y)$
> D'où $-d(x, y) \leq d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y)$
> Et donc, on a bien $|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)$