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up:: inégalité triangulaire #maths/algèbre

[!definition] seconde inégalité triangulaire Soit (X, d) un espace métrique Quels que soient x_0, x, y \in X on a : \boxed{|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)} ^definition

[!démonstration]- Démonstration Par l'inégalité triangulaire, on a d(x_0, x) \leq d(x_0, y) + d(y, x) alors d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y) et de même, d(x_0, y) \leq d(x_0, x) + d(x, y) On obtient donc : d(x_0, y) - d(x_0, x) \leq d(x, y) En multipliant par -1, on obtient d(x_0, x) - d(x_0, y) \geq -d(x, y) D'où -d(x, y) \leq d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y) Et donc, on a bien |d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)