17 lines
755 B
Markdown
17 lines
755 B
Markdown
up:: [[groupe]]
|
|
#maths/algèbre
|
|
|
|
> [!definition] groupe symétrique d'indice $n$
|
|
> Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
|
|
> Soit $\mathfrak{S}_{n}$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] $\{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \}$
|
|
> Soit $\circ$ la [[composition de fonctions]]
|
|
> On appelle groupe symétrique d'indice $n$ le groupe $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
|
|
> Sont élément neutre est $Id_{\{ 1,\dots,n \}}$
|
|
> L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est la bijection [[fonction réciproque|réciproque]] $\rho$ donnée par $\forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j)$
|
|
^definition
|
|
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
- Les groupes symétriques d'indice $n \leq 2$ sont commutatifs
|
|
- Les groupes symétriques d'indice $n \geq 3$ sont non-commutatifs |