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[!definition] groupe symétrique d'indice n Soit n \in \mathbb{N}^{*} Soit \mathfrak{S}_{n} l'ensemble des bijection \{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \} Soit \circ la composition de fonctions On appelle groupe symétrique d'indice n le groupe (\mathfrak{S}_{n}, \circ) Sont élément neutre est Id_{\{ 1,\dots,n \}} L'inverse de \sigma \in \mathfrak{S}_{n} est la bijection fonction réciproque \rho donnée par \forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j) ^definition

Propriétés

• Les groupes symétriques d'indice n \leq 2 sont commutatifs
• Les groupes symétriques d'indice n \geq 3 sont non-commutatifs