up:: [[groupe]]
#maths/algèbre 

> [!definition] groupe symétrique d'indice $n$
> Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$
> Soit $\mathfrak{S}_{n}$ l'ensemble des [[bijection|bijections]] $\{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \}$
> Soit $\circ$ la [[composition de fonctions]]
> On appelle groupe symétrique d'indice $n$ le groupe $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
> Sont élément neutre est $Id_{\{ 1,\dots,n \}}$ 
> L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est la bijection [[fonction réciproque|réciproque]] $\rho$ donnée par $\forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j)$
^definition


# Propriétés

- Les groupes symétriques d'indice $n \leq 2$ sont commutatifs
- Les groupes symétriques d'indice $n \geq 3$ sont non-commutatifs