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alias: "bornée"
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up::[[fonction]]
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#maths/analyse
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> [!definition] [[fonction bornée]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soit $f$ une fonction de $E \to X$
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> On dit que $f$ est bornée si les images de $f$ sont contenues dans une [[boule]], c'est-à-dire si :
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> $\boxed{\exists (x_0, r) \in X \times \mathbb{R}^{+}, \quad f(E) \subset B(x_0, r)}$
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> Ou, plus formellement : $\exists x_0 \in X, \quad \exists r \geq 0, \quad \forall x \in E, \quad f(x) \in B(x_0, r)$
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^definition
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> [!idea] Intuition
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> Une fonction est dite _bornée_ si il existe des bornes à cette fonction, cad. si il existe des valeurs qu'elle ne dépasse jamais.
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> [!definition] Fonction majorée sur $\mathbb{R}$
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> Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
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> On dit que $f$ est _majorée_ sur $I$ ssi :
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> $\exists M\in f(I), \forall x\in I, f(x) \leq M$
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> Ici, $M$ est un **majorant** de $f$.
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^majoree
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> [!definition] Fonction minorée sur $\mathbb{R}$
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> Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
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> On dit que $f$ est _minorée_ sur $I$ ssi :
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> $\exists m\in f(I), \forall x\in I, f(x) \geq m$
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> Ici, $m$ est un _minorant_ de $f$
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^minoree
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