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alias: "bornée"
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up::[[fonction]]
#maths/analyse

> [!definition] [[fonction bornée]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $f$ une fonction de $E \to X$
> On dit que $f$ est bornée si les images de $f$ sont contenues dans une [[boule]], c'est-à-dire si :
> $\boxed{\exists (x_0, r) \in X \times \mathbb{R}^{+}, \quad f(E) \subset B(x_0, r)}$
> Ou, plus formellement : $\exists x_0 \in X, \quad \exists r \geq 0, \quad \forall x \in E, \quad f(x) \in B(x_0, r)$
^definition

> [!idea] Intuition
> Une fonction est dite _bornée_ si il existe des bornes à cette fonction, cad. si il existe des valeurs qu'elle ne dépasse jamais.

> [!definition] Fonction majorée sur $\mathbb{R}$
> Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
> On dit que $f$ est _majorée_ sur $I$ ssi :
> $\exists M\in f(I), \forall x\in I, f(x) \leq M$
> Ici, $M$ est un **majorant** de $f$.
^majoree

> [!definition] Fonction minorée sur $\mathbb{R}$
> Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
> On dit que $f$ est _minorée_ sur $I$ ssi :
> $\exists m\in f(I), \forall x\in I, f(x) \geq m$
> Ici, $m$ est un _minorant_ de $f$
^minoree