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up:: [[cours L3]]
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#maths/topologie
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> [!idea] But du cours
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> On cherche à définir la notion de continuité pour les applications linéaires entre espaces vectoriels de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] infinie (car on a pas de problèmes entre [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie)
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> [!hint] Ce cours est à la base :
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> - du calcul différentiel (M1 : analyse complexe)
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> - de l'analyse fonctionnelle
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> - étude des espaces de fonctions (par exemple $\mathscr{C}^{h}\left( [0;1], \mathbb{R} \right)$)
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> - équations différentielles
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> - Intégration (espaces $L^{p}$, avec $L$ pour Lebesgue)
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> - permet de définir les probabilités
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# 1 - espaces métriques et espaces vectoriels normés
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> [!definition] Distance
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> Soit $X$ un ensemble
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> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
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> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
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> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
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> [!example]- Exemple
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> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$
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> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
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> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
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# 2 - topologie des espaces métriques
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- [[suite convergente]]
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- démonstration utilisant la [[seconde inégalité triangulaire]]
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> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
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> ```breadcrumbs
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> type: tree
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> collapse: false
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> mermaid-direction: LR
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> mermaid-renderer: elk
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> show-attributes: [field]
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> field-groups: [downs]
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> depth: [0, 1]
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> start-note: espace métrique.md
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> ```
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> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
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> ```breadcrumbs
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> type: tree
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> collapse: false
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> mermaid-direction: LR
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> mermaid-renderer: elk
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> show-attributes: [field]
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> field-groups: [downs]
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> depth: [0, 1]
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> start-note: espace mesurable.md
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> ```
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