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up:: cours L3 #maths/topologie

[!idea] But du cours On cherche à définir la notion de continuité pour les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension d'un espace vectoriel infinie (car on a pas de problèmes entre espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie)

[!hint] Ce cours est à la base :

• du calcul différentiel (M1 : analyse complexe)
• de l'analyse fonctionnelle
  • étude des espaces de fonctions (par exemple \mathscr{C}^{h}\left( [0;1], \mathbb{R} \right))
  • équations différentielles
• Intégration (espaces L^{p}, avec L pour Lebesgue)
  • permet de définir les probabilités

1 - espaces métriques et espaces vectoriels normés

[!definition] Distance Soit X un ensemble Une application d : X \times X \to \mathbb{R} est appelée distance ssi :

• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x) (relation symétrique)
• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0 toutes les distances sont positives ou nulles
• \forall x \in X, \quad d(x, x) = 0
• \forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y (espace séparé)
• \forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)

[!example]- Exemple Soit X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles} !cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw On peut définir d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)

2 - topologie des espaces métriques

• suite convergente
  • démonstration utilisant la seconde inégalité triangulaire

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