up:: [[cours L3]]
#maths/topologie 


> [!idea] But du cours
> On cherche à définir la notion de continuité pour les applications linéaires entre espaces vectoriels de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] infinie (car on a pas de problèmes entre [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie)

> [!hint] Ce cours est à la base :
> - du calcul différentiel (M1 : analyse complexe)
> - de l'analyse fonctionnelle 
>     - étude des espaces de fonctions (par exemple $\mathscr{C}^{h}\left( [0;1], \mathbb{R} \right)$)
>     - équations différentielles
> - Intégration (espaces $L^{p}$, avec $L$ pour Lebesgue)
>     - permet de définir les probabilités

# 1 - espaces métriques et espaces vectoriels normés

> [!definition] Distance
> Soit $X$ un ensemble
> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])

> [!example]- Exemple
> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$ 
> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$


# 2 - topologie des espaces métriques
- [[suite convergente]]
    - démonstration utilisant la [[seconde inégalité triangulaire]]
> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
> ```breadcrumbs
> type: tree
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> mermaid-direction: LR
> mermaid-renderer: elk
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> start-note: espace métrique.md
> ```

> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
> ```breadcrumbs
> type: tree
> collapse: false
> mermaid-direction: LR
> mermaid-renderer: elk
> show-attributes: [field]
> field-groups: [downs]
> depth: [0, 1]
> start-note: espace mesurable.md
> ```