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up:: [[cours L3]]
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#maths/analyse
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# 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
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## 1.1 - Rappels
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- [[ensemble des parties d'un ensemble]]
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- ensembles [[ensemble infini dénombrable|dénombrables]] et [[ensemble infini non dénombrable|non dénombrables]]
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## 1.2 - opérations sur les ensembles
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> [!definition]- Définition des opérations
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> Soit $E$ un ensemble
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> Soient $A$ et $B$ dans E
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> - $A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}$
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> - $A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}$
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> - $A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}$
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> [!proposition]- Propriétés des ensembles
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> - $\cup$ et $\cap$ sont [[associativité|associatives]]
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> - $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
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> - $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
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> - [[distributivité]]
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> - $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
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> - $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
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> - le [[complémentaire d'un ensemble]] est un morphisme sur $\cap$ et $\cup$
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> - $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$
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> - $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
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> [!proposition]- image réciproque
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>
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> [[fonction réciproque|réciproque]]
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> Soit $f : E \to F$
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> Soit $B \subset F$ l'image réciproque de $A$ par $F$, notée $B = f^{-1}(A)$
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> [!example]- Exemple
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> $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[$
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>
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> $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
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> $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$
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> [!proposition]- Propriétés : morphismes sur $\cap$ et $\cup$
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> Soit $f : E \to F$
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> Soient $(A, A') \in E^{2}$ et $(B, B') \in F^{2}$
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> On a :
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> - $f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')$
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> - $f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$
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> - $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$
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> - $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$
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>
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> Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :
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> - $\displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)$
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## 1.3 - Définition et premières propriétés
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- [[tribu]]
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- [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] $\sigma(\mathcal{E})$
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- [[tribu image réciproque]] $f^{-1}(\mathcal{A})$
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- [[tribu borélienne]]
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- [[espace mesurable]]
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- [[fonction mesurable]]
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# 2 - [[cours L3.intégration|mesures postitives]]
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On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
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On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.
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## 2.1 - Définitions et propositions élémentaires
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- [[mesure positive d'une application|mesure positive]]
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## 2.2 - Mesures discrètes
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```breadcrumbs
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type: tree
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collapse: false
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mermaid-direction: LR
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mermaid-renderer: elk
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 3]
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start-note: "mesure positive d'une application.md"
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```
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## 2.3 - Mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
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- [[mesure de Lebesgue]]
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# 3 - exemples importants de trivus et de mesures
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- [[tribu trace]] |