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1 - cours L3.intégration

1.1 - Rappels

• ensemble des parties d'un ensemble
• ensembles ensemble infini dénombrable et ensemble infini non dénombrable

1.2 - opérations sur les ensembles

[!definition]- Définition des opérations Soit E un ensemble Soient A et B dans E

• A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}
• A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}
• A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}

[!proposition]- Propriétés des ensembles

• \cup et \cap sont associativité
  • (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
  • (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
• distributivité
  • (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)
  • (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)
• le complémentaire d'un ensemble est un morphisme sur \cap et \cup
  • (A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}
  • (A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}

[!proposition]- image réciproque

fonction réciproque Soit f : E \to F Soit B \subset F l'image réciproque de A par F, notée B = f^{-1}(A)

[!example]- Exemple

\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[

f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1] f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[

[!proposition]- Propriétés : morphismes sur \cap et \cup Soit f : E \to F Soient (A, A') \in E^{2} et (B, B') \in F^{2} On a :

• f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')
• f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')
• f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')
• f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')

Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :

• \displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)

1.3 - Définition et premières propriétés

• tribu
  • tribu engendrée par un ensemble \sigma(\mathcal{E})
  • tribu image réciproque f^{-1}(\mathcal{A})
  • tribu borélienne
• espace mesurable
• fonction mesurable

2 - cours L3.intégration

On s'intéresse uniquement aux mesures positives. On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.

2.1 - Définitions et propositions élémentaires

• mesure positive d'une application

2.2 - Mesures discrètes

type: tree
collapse: false
mermaid-direction: LR
mermaid-renderer: elk
field-groups: [downs]
depth: [0, 3]
start-note: "mesure positive d'une application.md"

2.3 - Mesure de Lebesgue sur (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))

• mesure de Lebesgue

3 - exemples importants de trivus et de mesures

• tribu trace