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#maths/analyse 

# 1 - [[cours L3.intégration|tribus]]
## 1.1 - Rappels
- [[ensemble des parties d'un ensemble]]
- ensembles [[ensemble infini dénombrable|dénombrables]] et [[ensemble infini non dénombrable|non dénombrables]]

## 1.2 - opérations sur les ensembles
> [!definition]- Définition des opérations
> Soit $E$ un ensemble
> Soient $A$ et $B$ dans E
> 
> - $A \cup B = \{ x \in E \;|\; x \in A \vee x \in B \}$
> - $A \cap B = \{ x \in E \mid x \in A \wedge x \in B \}$
> - $A^{C} = \{ x \in E \mid x \notin A \}$

> [!proposition]- Propriétés des ensembles
> - $\cup$ et $\cap$ sont [[associativité|associatives]]
>     - $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
>     - $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
> - [[distributivité]]
>     - $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
>     - $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$
> - le [[complémentaire d'un ensemble]] est un morphisme sur $\cap$ et $\cup$
>     - $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$
>     - $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$

> [!proposition]- image réciproque
> 
> [[fonction réciproque|réciproque]]
> Soit $f : E \to F$
> Soit $B \subset F$ l'image réciproque de $A$ par $F$, notée $B = f^{-1}(A)$

> [!example]- Exemple
> 
> $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ &x \mapsto x^{2} \end{align} \quad A_1=[0;1] \quad A_2=[-1; 1] \quad B=[0; 4[$
> 
> $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
> $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$

> [!proposition]- Propriétés : morphismes sur $\cap$ et $\cup$
> Soit $f : E \to F$
> Soient $(A, A') \in E^{2}$ et $(B, B') \in F^{2}$
> On a :
> - $f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')$
> - $f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$
> - $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$
> - $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$
> 
> Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :
> - $\displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)$

## 1.3 - Définition et premières propriétés

- [[tribu]]
    - [[tribu engendrée par un ensemble|tribu engendrée]] $\sigma(\mathcal{E})$
    - [[tribu image réciproque]] $f^{-1}(\mathcal{A})$
    - [[tribu borélienne]]
- [[espace mesurable]]
- [[fonction mesurable]]

# 2 - [[cours L3.intégration|mesures postitives]]
On s'intéresse uniquement aux mesures **positives**.
On ne parlera donc jamais de mesures négatives, et on ne précisera pas que les mesures que l'on considère sont toujours positives.

## 2.1 - Définitions et propositions élémentaires

- [[mesure positive d'une application|mesure positive]]

## 2.2 - Mesures discrètes
```breadcrumbs
type: tree
collapse: false
mermaid-direction: LR
mermaid-renderer: elk
field-groups: [downs]
depth: [0, 3]
start-note: "mesure positive d'une application.md"
```


## 2.3 - Mesure de Lebesgue sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$
- [[mesure de Lebesgue]]


# 3 - exemples importants de trivus et de mesures

- [[tribu trace]]