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up:: [[norme]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] normes équivalentes
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> Si on a deux normes $\|\cdot \|_{A}$ et $\|\cdot \|_{B}$ sur un même $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]] $E$.
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> On dit que les deux normes sont **équivalentes** si il existe deux constances $\lambda > 0$ et $\mu > 0$ telles que :
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> $\forall x \in E, \quad \lambda \|x\|_{A} \leq \|x\|_{B} \leq \mu \|x\|_{A}$
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^definition
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> [!example] Exemples
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> - sur $\mathbb{R}^{n}$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ sont équivalentes (voir [[norme p]]) ([[démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn|démonstration]])
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> - sur $\mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ ne sont pas équivalentes ([[démonstration de la non équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur l'espace des fonctions continues sur un segment|démonstration]])
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^example
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Toutes les normes sont équivalentes sur $\mathbb{R}^{n}$
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> Sur $\mathbb{R}^{n}$, si $\|\cdot\|$ est une norme, alors il existe des constantes $a, b > 0$ telles que :
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> $\forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad a\|x\|_{\infty} \leq \|x\| \leq b \|x\|_{\infty}$
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>
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^normes-equivalentes-sur-Rn
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> [!proposition] relation d'équivalence
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> la relation "$\|\cdot \|_{A}$ est équivalente à $\|\cdot\|_{B}$" est une [[relation d'équivalence]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - réflexivité
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> > Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors :
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> > $\forall x \in E,\quad 1\times \|x\| \leq \|x\| \leq 1\times \| x\|$
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> > Donc $\|\cdot\|$ est équivalente à elle-même
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> > - symétrie
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> > si $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont deux normes sur $\mathbf{E}$, et s'il existe $a, b > 0$ tels que $\forall x \in E,\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|$
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> > Alors $\|x\| \leq \frac{1}{a} \| x\|'$ et $\frac{1}{b} \|x\|' \leq \|x\|$
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>
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> > [!corollaire] équivalence des normes en dimension finie
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> > Si $(E, \|\cdot\|)$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel de dimension finie]], toutes les normes sont équivalentes sur $E$ :
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> > Si $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont deux normes quelconques sur $E$, alors il existe $a, b>0$ tels que $a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|$
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> >
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> > - ! c'est une propriété spécifique à la dimension finie
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> >
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> > > [!démonstration]- Démonstration
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> > > Soit $m = \dim E$
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> > > On se donne $(e_1, e_2, \dots, e_{m})$ une base de $E$
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> > > On a alors un [[isomorphisme de groupes]] :
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> > > $\begin{array}{crl} f : &\mathbb{R}^{m} &\to E\\ &(x_1, \dots, x_m) & \mapsto x_1e_1 + \cdots + x_{m}e_{m} \end{array}$
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> > > Soient $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ deux normes sur $E$
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> > > On a sur $\mathbb{R}^{m}$ la norme infini : $\|(x_1, \dots , x_{m})\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, \dots, |x_{m}| \}$
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> > > A partir de $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ on peut définir des normes sur $\mathbb{R}^{m}$ qu'on va noter respectivement $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ :
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> > > $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|}_{\text{dans } E}$
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> > > ainsi que :
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> > > $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|'}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|'}_{\text{dans } E}$
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> > > Alors $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sur $\mathbb{R}^{m}$ sont équivalentes à $\|\cdot\|_{\infty}$ (voir [[normes équivalentes#^normes-equivalentes-sur-Rn|théorème]]).
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> > > Donc, d'après le théorème précédent, $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sur $\mathbb{R}^{m}$ sont équivalentes entre elles.
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> > >
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> > > Soient $a, b > 0$ tels que $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b\|x\|$
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> > > On a alors, comme $f$ est un isomorphisme:
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> > > $\begin{align} \forall y \in E,\quad & \|y\| = \|f^{-1}(y)\|\\ & \|y\|' = \|f^{-1}(y)\|' \end{align}$
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> > > Donc, $\forall y \in E,\quad a \|y\| \leq \|y\|' \leq b \|y\|$
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> > > Autrement dit, $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont équivalentes
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> > >
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> > >
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> [!proposition] [[espace vectoriel]] finis
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> Sur un [[espace vectoriel]] fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.
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