up:: [[norme]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] normes équivalentes
> Si on a deux normes $\|\cdot \|_{A}$ et $\|\cdot \|_{B}$ sur un même $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]] $E$.
> On dit que les deux normes sont **équivalentes** si il existe deux constances $\lambda > 0$ et $\mu > 0$ telles que :
> $\forall x \in E, \quad \lambda \|x\|_{A} \leq \|x\|_{B} \leq \mu \|x\|_{A}$
^definition

> [!example] Exemples
> - sur $\mathbb{R}^{n}$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ sont équivalentes (voir [[norme p]]) ([[démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn|démonstration]])
> - sur $\mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ ne sont pas équivalentes ([[démonstration de la non équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur l'espace des fonctions continues sur un segment|démonstration]])
^example

# Propriétés

> [!proposition]+ Toutes les normes sont équivalentes sur $\mathbb{R}^{n}$
> Sur $\mathbb{R}^{n}$, si $\|\cdot\|$ est une norme, alors il existe des constantes $a, b > 0$ telles que :
> $\forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad a\|x\|_{\infty} \leq \|x\| \leq b \|x\|_{\infty}$
> 
^normes-equivalentes-sur-Rn

> [!proposition] relation d'équivalence
> la relation "$\|\cdot \|_{A}$ est équivalente à $\|\cdot\|_{B}$" est une [[relation d'équivalence]]
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - réflexivité
> > Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors :
> > $\forall x \in E,\quad 1\times \|x\| \leq \|x\| \leq 1\times \| x\|$
> > Donc $\|\cdot\|$ est équivalente à elle-même
> > - symétrie
> > si $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont deux normes sur $\mathbf{E}$, et s'il existe $a, b > 0$ tels que $\forall x \in E,\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|$
> > Alors $\|x\| \leq \frac{1}{a} \| x\|'$ et $\frac{1}{b} \|x\|' \leq \|x\|$
> 
> > [!corollaire] équivalence des normes en dimension finie
> > Si $(E, \|\cdot\|)$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel de dimension finie]], toutes les normes sont équivalentes sur $E$ :
> > Si $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont deux normes quelconques sur $E$, alors il existe $a, b>0$ tels que $a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|$
> > 
> > - ! c'est une propriété spécifique à la dimension finie
> >   
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Soit $m = \dim E$
> > > On se donne $(e_1, e_2, \dots, e_{m})$ une base de $E$
> > > On a alors un [[isomorphisme de groupes]] :
> > > $\begin{array}{crl} f : &\mathbb{R}^{m} &\to E\\ &(x_1, \dots, x_m) & \mapsto x_1e_1 + \cdots + x_{m}e_{m} \end{array}$
> > > Soient $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ deux normes sur $E$
> > > On a sur $\mathbb{R}^{m}$  la norme infini : $\|(x_1, \dots , x_{m})\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, \dots, |x_{m}| \}$
> > > A partir de $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ on peut définir des normes sur $\mathbb{R}^{m}$ qu'on va noter respectivement $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ :
> > > $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|}_{\text{dans } E}$
> > > ainsi que :
> > > $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|'}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|'}_{\text{dans } E}$
> > > Alors $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sur $\mathbb{R}^{m}$ sont équivalentes à $\|\cdot\|_{\infty}$ (voir [[normes équivalentes#^normes-equivalentes-sur-Rn|théorème]]).
> > > Donc, d'après le théorème précédent, $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sur $\mathbb{R}^{m}$ sont équivalentes entre elles.
> > > 
> > > Soient $a, b > 0$ tels que $\forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b\|x\|$
> > > On a alors, comme $f$ est un isomorphisme:
> > > $\begin{align} \forall y \in E,\quad & \|y\| = \|f^{-1}(y)\|\\ & \|y\|' = \|f^{-1}(y)\|' \end{align}$
> > > Donc, $\forall y \in E,\quad a \|y\| \leq \|y\|' \leq b \|y\|$
> > > Autrement dit, $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|'$ sont équivalentes
> > > 
> > > 

> [!proposition] [[espace vectoriel]] finis
> Sur un [[espace vectoriel]] fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.