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[!definition] normes équivalentes Si on a deux normes \|\cdot \|_{A} et \|\cdot \|_{B} sur un même $\mathbb{R}$-espace vectoriel E. On dit que les deux normes sont équivalentes si il existe deux constances \lambda > 0 et \mu > 0 telles que : \forall x \in E, \quad \lambda \|x\|_{A} \leq \|x\|_{B} \leq \mu \|x\|_{A} ^definition

[!example] Exemples

• sur \mathbb{R}^{n}, \|\cdot \|_{1} et \|\cdot \|_{\infty} sont équivalentes (voir norme p) (démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn)
• sur \mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R}), \|\cdot \|_{1} et \|\cdot \|_{\infty} ne sont pas équivalentes (démonstration de la non équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur l'espace des fonctions continues sur un segment) ^example

Propriétés

[!proposition]+ Toutes les normes sont équivalentes sur \mathbb{R}^{n} Sur \mathbb{R}^{n}, si \|\cdot\| est une norme, alors il existe des constantes a, b > 0 telles que : \forall x \in \mathbb{R}^{n},\quad a\|x\|_{\infty} \leq \|x\| \leq b \|x\|_{\infty}

^normes-equivalentes-sur-Rn

[!proposition] relation d'équivalence la relation "\|\cdot \|_{A} est équivalente à $|\cdot|_{B}$" est une relation d'équivalence

[!démonstration]- Démonstration

• réflexivité Si \|\cdot\| est une norme sur E, alors : \forall x \in E,\quad 1\times \|x\| \leq \|x\| \leq 1\times \| x\| Donc \|\cdot\| est équivalente à elle-même
• symétrie si \|\cdot\| et \|\cdot\|' sont deux normes sur \mathbf{E}, et s'il existe a, b > 0 tels que \forall x \in E,\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\| Alors \|x\| \leq \frac{1}{a} \| x\|' et \frac{1}{b} \|x\|' \leq \|x\|

[!corollaire] équivalence des normes en dimension finie Si (E, \|\cdot\|) est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes sur E : Si \|\cdot\| et \|\cdot\|' sont deux normes quelconques sur E, alors il existe a, b>0 tels que a \|x\| \leq \|x\|' \leq b \|x\|

• ! c'est une propriété spécifique à la dimension finie

[!démonstration]- Démonstration Soit m = \dim E On se donne (e_1, e_2, \dots, e_{m}) une base de E On a alors un isomorphisme de groupes : \begin{array}{crl} f : &\mathbb{R}^{m} &\to E\\ &(x_1, \dots, x_m) & \mapsto x_1e_1 + \cdots + x_{m}e_{m} \end{array} Soient \|\cdot\| et \|\cdot\|' deux normes sur E On a sur \mathbb{R}^{m} la norme infini : \|(x_1, \dots , x_{m})\|_{\infty} = \max \{ |x_1|, \dots, |x_{m}| \} A partir de \|\cdot\| et \|\cdot\|' on peut définir des normes sur \mathbb{R}^{m} qu'on va noter respectivement \|\cdot\| et \|\cdot\|' : \forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|}_{\text{dans } E} ainsi que : \forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad \underbracket{\|x\|'}_{\text{dans } \mathbb{R}^{m}} = \underbracket{\|f(x)\|'}_{\text{dans } E} Alors \|\cdot\| et \|\cdot\|' sur \mathbb{R}^{m} sont équivalentes à \|\cdot\|_{\infty} (voir normes équivalentes#^normes-equivalentes-sur-Rn). Donc, d'après le théorème précédent, \|\cdot\| et \|\cdot\|' sur \mathbb{R}^{m} sont équivalentes entre elles.

Soient a, b > 0 tels que \forall x \in \mathbb{R}^{m},\quad a \|x\| \leq \|x\|' \leq b\|x\| On a alors, comme f est un isomorphisme: \begin{align} \forall y \in E,\quad & \|y\| = \|f^{-1}(y)\|\\ & \|y\|' = \|f^{-1}(y)\|' \end{align} Donc, \forall y \in E,\quad a \|y\| \leq \|y\|' \leq b \|y\| Autrement dit, \|\cdot\| et \|\cdot\|' sont équivalentes

[!proposition] espace vectoriel finis Sur un espace vectoriel fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.