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aliases:
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- norme triple
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- norme assujettie
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- norme subordonnée
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up:: [[application linéaire continue]], [[norme]]
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#s/maths/topologie
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> [!definition] [[norme triple]]
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> Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel]] quelconques
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> Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire continue]]
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> On note $|\!|\!|f|\!|\!|$ la quantité :
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> $\displaystyle|\!|\!|f|\!|\!| = \inf \{ C \in \mathbb{R}^{+} | \forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} < C\| x\|_{E} \} = \sup_{\substack{x \in E\\ x \neq 0}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ norme triple d'une composée de fonctions
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> Soient $E, F, G$ des [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]]
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> Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont des [[application linéaire continue|applications linéaires continues]]
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> alors $g \circ f$ est aussi linéaire et continue, et on a :
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> $|\!|\!|g \circ f |\!|\!| \leq |\!|\!|g|\!|\!| \cdot |\!|\!|f|\!|\!|$
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> [!proposition]+ norme triple de l'identité
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> Soit $E$ un [[espace vectoriel normé]]
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> Soit $\mathrm{id}_{E} : E \to E$ la fonction identité
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> $|\!|\!| id_{E} |\!|\!| = 1$
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# Exemples
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