cours/norme triple.md

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norme triple norme assujettie norme subordonnée

up:: application linéaire continue, norme #s/maths/topologie

[!definition] norme triple Soient E et F deux espace vectoriel quelconques Soit f : E \to F une application linéaire continue On note |\!|\!|f|\!|\!| la quantité : \displaystyle|\!|\!|f|\!|\!| = \inf \{ C \in \mathbb{R}^{+} | \forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} < C\| x\|_{E} \} = \sup_{\substack{x \in E\\ x \neq 0}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ norme triple d'une composée de fonctions Soient E, F, G des espace vectoriel normé Si f: E \to F et g: F \to G sont des application linéaire continue alors g \circ f est aussi linéaire et continue, et on a : |\!|\!|g \circ f |\!|\!| \leq |\!|\!|g|\!|\!| \cdot |\!|\!|f|\!|\!|

[!proposition]+ norme triple de l'identité Soit E un espace vectoriel normé Soit \mathrm{id}_{E} : E \to E la fonction identité |\!|\!| id_{E} |\!|\!| = 1

Exemples