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aliases:
  - norme triple
  - norme assujettie
  - norme subordonnée
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up:: [[application linéaire continue]], [[norme]]
#s/maths/topologie 

> [!definition] [[norme triple]]
> Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel]] quelconques
> Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire continue]]
> On note $|\!|\!|f|\!|\!|$ la quantité :
> $\displaystyle|\!|\!|f|\!|\!| = \inf \{ C \in \mathbb{R}^{+} | \forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} < C\| x\|_{E} \} = \sup_{\substack{x \in E\\ x \neq 0}} \frac{\|f(x)\|_{F}}{\|x\|_{E}}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ norme triple d'une composée de fonctions
> Soient $E, F, G$ des [[espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]]
> Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ sont des [[application linéaire continue|applications linéaires continues]]
> alors $g \circ f$ est aussi linéaire et continue, et on a :
> $|\!|\!|g \circ f |\!|\!| \leq |\!|\!|g|\!|\!| \cdot |\!|\!|f|\!|\!|$ 

> [!proposition]+ norme triple de l'identité
> Soit $E$ un [[espace vectoriel normé]]
> Soit $\mathrm{id}_{E} : E \to E$ la fonction identité
> $|\!|\!| id_{E} |\!|\!| = 1$


# Exemples