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up:: [[groupe des classes modulo n]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] groupe des classes modulo $n$ premières avec $n$
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> Soit $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \}$
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> $\left( (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est un [[groupe abélien]]
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> - son élément neutre est $\overline{1}$
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> - il est bien [[commutativité|commutatif]]
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^definition
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- $(\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{ k} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}u = 1 \}$ [[démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n]]
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# Propriétés
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> [!proposition] Proposition 1
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> Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z} /p\mathbb{Z})^{\times } = (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})\setminus \{ \overline{0} \}$
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> > [!démonstration]
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> > Tous les entiers $[\![ 1; p-1]\!]$ sont premiers avec $p$
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> >
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^p-premier
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> [!proposition]+ cardinal
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> Le cardinal de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est $\varphi(p) = \left| \{ k \in [\![1; p]\!] \mid \mathrm{pgcd}(k, p) = 1 \} \right|$
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> C'est la [[fonction indicatrice d'Euler]]
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> [!proposition]+ $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ pour $p$ premier
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> Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est un [[groupe cyclique]]
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On rappelle que $\#(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} = p-1$ (voir [[groupe des classes modulo n premières avec n#^p-premier|proposition 1]])
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> > Pour $d \mid p-1$, on note $N_{d}$ le nombre d'éléments d'ordre $d$ dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ (l'objectif est de montrer que $N_{p-1} \geq 1$).
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> > Soit $x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ et soit $d$ son ordre. En particulier, on a $N_{d}\geq 1$ (puisque $x$ est d'ordre $d$). Le sous-groupe $\left< x \right>$ est de cardinal $d$.
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# Exemples
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> [!example] $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times}$
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> $(\mathbb{Z} /10\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9} \} = \{ \pm \overline{1}, \pm \overline{7} \}$
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> En particulier, $\varphi(10) = 4$ |