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up:: groupe des classes modulo n #s/maths/algèbre

[!definition] groupe des classes modulo n premières avec n Soit (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \} \left( (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right) est un groupe abélien

• son élément neutre est \overline{1}
• il est bien commutativité ^definition

• (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{ k} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}u = 1 \} démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n

Propriétés

[!proposition] Proposition 1 Si p est un nombre premier, alors (\mathbb{Z} /p\mathbb{Z})^{\times } = (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})\setminus \{ \overline{0} \}

[!démonstration] Tous les entiers [\![ 1; p-1]\!] sont premiers avec p

^p-premier

[!proposition]+ cardinal Le cardinal de (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} est \varphi(p) = \left| \{ k \in [\![1; p]\!] \mid \mathrm{pgcd}(k, p) = 1 \} \right| C'est la fonction indicatrice d'Euler

[!proposition]+ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} pour p premier Si p est un nombre premier, alors (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} est un groupe cyclique

[!démonstration]- Démonstration On rappelle que \#(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} = p-1 (voir groupe des classes modulo n premières avec n#^p-premier) Pour d \mid p-1, on note N_{d} le nombre d'éléments d'ordre d dans (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} (l'objectif est de montrer que N_{p-1} \geq 1). Soit x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} et soit d son ordre. En particulier, on a N_{d}\geq 1 (puisque x est d'ordre d). Le sous-groupe \left< x \right> est de cardinal d.

Exemples

[!example] (\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times} (\mathbb{Z} /10\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9} \} = \{ \pm \overline{1}, \pm \overline{7} \} En particulier, \varphi(10) = 4