up:: [[groupe des classes modulo n]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] groupe des classes modulo $n$ premières avec $n$
> Soit $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \}$
> $\left( (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est un [[groupe abélien]]
> - son élément neutre est $\overline{1}$
> - il est bien [[commutativité|commutatif]]
^definition

- $(\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } = \{  \overline{ k} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}u = 1 \}$ [[démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n]]


# Propriétés

> [!proposition] Proposition 1
> Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z} /p\mathbb{Z})^{\times } = (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})\setminus \{ \overline{0} \}$
> > [!démonstration] 
> > Tous les entiers $[\![ 1; p-1]\!]$ sont premiers avec $p$
> > 
^p-premier

> [!proposition]+ cardinal
> Le cardinal de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est  $\varphi(p) = \left| \{ k \in [\![1; p]\!] \mid \mathrm{pgcd}(k, p) = 1 \} \right|$
> C'est la [[fonction indicatrice d'Euler]] 

> [!proposition]+ $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ pour $p$ premier
> Si $p$ est un [[nombre premier]], alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est un [[groupe cyclique]]
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On rappelle que $\#(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} = p-1$  (voir [[groupe des classes modulo n premières avec n#^p-premier|proposition 1]])
> > Pour $d \mid p-1$, on note $N_{d}$ le nombre d'éléments d'ordre $d$ dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ (l'objectif est de montrer que $N_{p-1} \geq 1$).
> > Soit $x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ et soit $d$ son ordre. En particulier, on a $N_{d}\geq 1$ (puisque $x$ est d'ordre $d$). Le sous-groupe $\left< x \right>$ est de cardinal $d$.
> > 



# Exemples

> [!example] $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^{\times}$
> $(\mathbb{Z} /10\mathbb{Z})^{\times } = \{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9} \} = \{ \pm \overline{1}, \pm \overline{7} \}$
> En particulier, $\varphi(10) = 4$