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up:: [[commutateur d'un groupe]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[groupe dérivé]]
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> Soit $G$ un groupe
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> Le **groupe dérivé** de $G$, noté $D(G)$, est le [[sous groupe]] de $G$ [[sous groupe engendré|engendré]] par les [[commutateur d'un groupe|commutateurs]] de $G$.
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> $\boxed{D(G) = \left\langle S \right\rangle \text{ avec } S := \{ [g, h] \mid g, h \in G \}}$
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^definition
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> [!definition] Autrement
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> $D(G) = \left\langle \{ ghg^{-1}h^{-1} \mid g, h \in G \} \right\rangle$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Proposition
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> Soit $G$ un groupe
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> $G$ est [[groupe abélien|abélien]] $\iff$ $D(G) = \{ 1 \}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\implies$
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> > Si $G$ est abélien, alors :
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> > $[g, h] = ghg^{-1}h^{-1} = gg^{-1}hh^{-1} =1\cdot 1=1$
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> > - $\impliedby$
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> > $\begin{align} \forall g, h \in G,\quad [g, h] \in D(G) = \{ 1 \} &\implies [g, h] = 1 \\&\implies ghg^{-1}h^{-1} = 1 \\&\implies hgh^{-1} = h \\&\implies gh = hg \end{align}$
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> > Donc, tout élément de $G$ commute, c'est-à-dire que $G$ est abélien
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> [!proposition]+ Le groupe dérivé est [[sous groupe distingué|distingué]]
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> Soit $G$ un groupe
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> $D(G) \trianglelefteq G$ (le groupe dérivé de $G$ est [[sous groupe distingué|distingué]] dans $G$)
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $D(G) = \left< [g, h] \mid g, h \in G \right>$ où $[g, h] = ghg^{-1}h^{-1}$
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> > On sait que le groupe dérivé est un sous-groupe.
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> > Il suffit donc de montrer que $\forall a \in G, \forall g, h \in G,\quad a[g, h]a^{-1} \in D(G)$
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> > On a
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> > $$\begin{align}
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> > a[g, h]a^{-1} &= aghg^{-1}h^{-1}a^{-1} \\
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> > &= (aga^{-1})(aha^{-1})(ag^{-1}a^{-1})(ah^{-1}a^{-1}) \\
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> > &= (aga^{-1})(aha^{-1})(aga^{-1})^{-1}(aha^{-1})^{-1} \\
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> > &= [aga^{-1}, aha^{-1}] \\
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> > &\in D(G) \qquad\text{car } aga^{-1} \in G \text{ et } aha^{-1} \in G
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> > \end{align} $$
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> > Ainsi, on a bien $D(G) \trianglelefteq G$
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^distingue
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# Exemples
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