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up:: commutateur d'un groupe #s/maths/algèbre

[!definition] groupe dérivé Soit G un groupe Le groupe dérivé de G, noté D(G), est le sous groupe de G sous groupe engendré par les commutateur d'un groupe de G. \boxed{D(G) = \left\langle S \right\rangle \text{ avec } S := \{ [g, h] \mid g, h \in G \}} ^definition

[!definition] Autrement D(G) = \left\langle \{ ghg^{-1}h^{-1} \mid g, h \in G \} \right\rangle

Propriétés

[!proposition]+ Proposition Soit G un groupe G est groupe abélien \iff D(G) = \{ 1 \}

[!démonstration]- Démonstration

• \implies Si G est abélien, alors : [g, h] = ghg^{-1}h^{-1} = gg^{-1}hh^{-1} =1\cdot 1=1
• \impliedby \begin{align} \forall g, h \in G,\quad [g, h] \in D(G) = \{ 1 \} &\implies [g, h] = 1 \\&\implies ghg^{-1}h^{-1} = 1 \\&\implies hgh^{-1} = h \\&\implies gh = hg \end{align} Donc, tout élément de G commute, c'est-à-dire que G est abélien

[!proposition]+ Le groupe dérivé est sous groupe distingué Soit G un groupe D(G) \trianglelefteq G (le groupe dérivé de G est sous groupe distingué dans G)

[!démonstration]- Démonstration D(G) = \left< [g, h] \mid g, h \in G \right> où [g, h] = ghg^{-1}h^{-1} On sait que le groupe dérivé est un sous-groupe. Il suffit donc de montrer que \forall a \in G, \forall g, h \in G,\quad a[g, h]a^{-1} \in D(G) On a $$\begin{align} a[g, h]a^{-1} &= aghg^{-1}h^{-1}a^{-1} \ &= (aga^{-1})(aha^{-1})(ag^{-1}a^{-1})(ah^{-1}a^{-1}) \ &= (aga^{-1})(aha^{-1})(aga^{-1})^{-1}(aha^{-1})^{-1} \ &= [aga^{-1}, aha^{-1}] \ &\in D(G) \qquad\text{car } aga^{-1} \in G \text{ et } aha^{-1} \in G \end{align} $$ Ainsi, on a bien D(G) \trianglelefteq G ^distingue

Exemples