up:: [[commutateur d'un groupe]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[groupe dérivé]]
> Soit $G$ un groupe
> Le **groupe dérivé** de $G$, noté $D(G)$, est le [[sous groupe]] de $G$ [[sous groupe engendré|engendré]] par les [[commutateur d'un groupe|commutateurs]] de $G$.
> $\boxed{D(G) = \left\langle S \right\rangle \text{ avec } S := \{ [g, h] \mid g, h \in G \}}$
^definition

> [!definition] Autrement
> $D(G) = \left\langle \{ ghg^{-1}h^{-1} \mid g, h \in G \} \right\rangle$

# Propriétés

> [!proposition]+ Proposition
> Soit $G$ un groupe
> $G$ est [[groupe abélien|abélien]] $\iff$ $D(G) = \{ 1 \}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\implies$
> > Si $G$ est abélien, alors :
> > $[g, h] = ghg^{-1}h^{-1} = gg^{-1}hh^{-1} =1\cdot 1=1$
> > - $\impliedby$
> > $\begin{align} \forall g, h \in G,\quad [g, h] \in D(G) = \{ 1 \} &\implies [g, h] = 1 \\&\implies ghg^{-1}h^{-1} = 1 \\&\implies hgh^{-1} = h \\&\implies gh = hg  \end{align}$
> > Donc, tout élément de $G$ commute, c'est-à-dire que $G$ est abélien

> [!proposition]+ Le groupe dérivé est [[sous groupe distingué|distingué]]
> Soit $G$ un groupe
> $D(G) \trianglelefteq G$ (le groupe dérivé de $G$ est [[sous groupe distingué|distingué]] dans $G$)
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $D(G) = \left< [g, h] \mid g, h \in G \right>$ où $[g, h] = ghg^{-1}h^{-1}$
> > On sait que le groupe dérivé est un sous-groupe.
> > Il suffit donc de montrer que $\forall a \in G, \forall g, h \in G,\quad a[g, h]a^{-1} \in D(G)$
> > On a
> > $$\begin{align} 
> > a[g, h]a^{-1} &= aghg^{-1}h^{-1}a^{-1} \\
> > &= (aga^{-1})(aha^{-1})(ag^{-1}a^{-1})(ah^{-1}a^{-1}) \\
> > &= (aga^{-1})(aha^{-1})(aga^{-1})^{-1}(aha^{-1})^{-1} \\
> > &= [aga^{-1}, aha^{-1}] \\
> > &\in D(G) \qquad\text{car } aga^{-1} \in G \text{ et } aha^{-1} \in G
> > \end{align} $$
> > Ainsi, on a bien $D(G) \trianglelefteq G$
^distingue

# Exemples