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up:: [[fonction intégrable]]
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#s/maths/intégration
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> [!definition] [[ensemble des fonctions intégrables]]
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> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
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> On note $\mathscr{L}_{\mathbb{K}}^{1}(E, \mathcal{A}, \mu)$ l'ensemble des [[fonction intégrable|fonctions intégrables]] de $(E, \mathcal{A}, \mu)$ dans $(\mathbb{K}, \mathcal{B}(\mathbb{K}))$
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> On note $\mathscr{L}^{1}$ pour parler de $\mathscr{L}_{\mathbb{R}}^{1}$, en sous-entandant l'espace mesuré actuel.
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ l'ensemble des fonctions intégrables est un espace vectoriel
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> Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un [[espace mesuré]]
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> $\mathscr{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, \mathcal{A}, \mu)$ est un [[espace vectoriel]] dans lequel $f \mapsto \int_{E} f \, d\mu$ est linéaire.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soient $f, g \in \mathscr{L^{1}}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$
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> > $\underbrace{|\lambda f+g|}_{\text{mesure} \geq 0} \leq \underbrace{|\lambda||f| + |g|}_{\text{mesure}\geq 0}$
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> > donc
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> > $\displaystyle\int_{E} |\lambda f+g| \, d\mu \leq {\int_{E} (|\lambda||f| + |g|) \, d\mu} = |\lambda| \int_{E} |f| \, d\mu + \int_{E} |g| \, d\mu < +\infty$
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> > Donc $\lambda f+g \in \mathscr{L}^{1}$
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# Exemples
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